O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Teorema 5.2.
  
(Olga Tauski teoremasi). 
Agar a -  yoyilmaydigan matritsa uchun  (5.13)  Adamarning  kuchsizlantirilgan 
shartda > belgi o’rinli bo’lsa, u holda A matritsa xosmas bo’ladi. 
 
Bu  teoremada 
𝐻
𝑖
≥ 0  (𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
    shartlarni 
𝐺
𝑖
> 0   (𝑖 =
1,2, … , 𝑛)
   shartlar bilan almashtirish mumkin. 
 
§2. Matritsa normasi. 
Har bir 
𝑥 ∈ 𝑅
𝑛 
 vektorga bitta manfiymas 
‖𝑥‖
 sonni mos qo’yamiz. 
𝑅
𝑛 
 
fazodagi ixtiyoriy x,y vektorlar va 

 - ixtiyoriy skalyar uchun quyidagi shartlar 
bajariladi: 
1.
 
‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖
+
‖𝑦‖
 
2.
 
‖

x‖ = |

|‖𝑥‖
, 
3.
 
‖𝑥‖ > 0
 agarda 
𝑥 ≠ 0
 bo’lsa. 
4.
 
Shartda 

= 0
  desak, 
‖𝑥‖
=0  dagina  bajarilishi  kelib  chiqadi. 
Bundan  tashqari  2.  Shartdan  kelib  chiqadiki,  ixtiyoriy   
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
𝑛 
  vektorlar 
uchun  
‖𝑥 − 𝑦‖ ≥ ‖𝑥‖ − ‖𝑦‖
 
Quyidagi normalarni kiritish mumkin; vektorlarning “kubik” normasi 

---

 
122 
                                  
‖𝑥‖
1
=
𝑚𝑎𝑥
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛|𝑥
𝑖
|
                                        (5.17) 
yoki “oktaedrli” norma 
                                         ‖𝑥‖
1
= ∑|𝑥
𝑖
|                                             (5. 17
′
)
𝑛
𝑖=1
 
“Ermitcha” norma  
                                      ‖𝑥‖
3
= √∑|𝑥
𝑖
|
2
𝑛
𝑖=1
                                        (5. 17
′′
)
 
Osongina  tekshirib  ko’rish  mumkinki,  bu  normalar  1.,2.,  3.  Shartlarni 
qanoatlantiradi. 
 
Endi 
𝑚 × 𝑛
  o’lchovli  to’g’ri  to’rtburchakli  A  matritsani  va  shu  bilan 
birga uni y=Ax chiziqli alamshtirishni qaraymiz. 
𝑥, ∈ 𝑅
𝑛 
, 
𝑦 ∈ 𝑆
𝑚 
 vektorlar. 
Bu fazolarda vektorlarning 
‖𝑥‖
𝑅
= ‖𝑥‖
  va 
‖𝑔‖
𝑠
= ‖𝑦‖
 normalarni 
kiritib, A matritsaning normasini quyidagicha aniqlaymiz: 
                                   
‖𝐴‖ =
𝑠𝑢𝑝
𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0
‖𝐴𝑥‖
𝑠
‖𝑥‖
𝑅
                                (5.18) 
Normaning ta’rifidan quyidagi munosabat kelib chiqadi: 
                                  ‖𝐴𝑥‖
𝑠
≤ ‖𝐴‖‖𝑥‖
𝑅
                                                 (5.18
|
) 
  
                 ‖𝐴 + 𝐵‖ ≤ ‖𝐴‖
+
‖𝐵‖
                                            (5.19) 
                              
‖

A‖ = |

|‖𝐴‖ 
                                              
(5.19
|
) 
pxn
   o’lchovli B matritsa 
𝑅
𝑛 
 ni  
𝑆
𝑝
 ga akaslantirsin, u holda AB matritsa 
𝑅
𝑛 
 ni  
𝑇
𝑚
ga akslantiradi. 
𝑅
𝑛 
 
, 𝑆
𝑝
 , 
𝑇
𝑚
 fazolarda vector normalarini va ular 
yordamida matritsalar normalarini kiritib, quyidagi tengsizlikka kelamiz: 
 
                             
‖𝐴𝐵‖ ≤ ‖𝐴‖‖𝐵‖
                                                  
(5.19
′
)
 
Masalan, agar “kubik”  vector normalar, (5.17) dan kelib chiqsak, u holda  
𝐴 =
‖𝑎
𝑖𝑘
‖ (𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑘 = 1,2, … , 𝑛)
  matritsaning  normasi  quyidagicha 
aniqlanadi: 

---

 
123 
                      
‖𝐴‖ = max
1≤𝑖≤𝑚
∑
|𝑎
𝑖𝑘
|                                                     (5.20)
𝑛
𝑘=1
 
 
Haqiqqatan bu holda  
‖𝐴𝑥‖
1
= max
1≤𝑖≤𝑚
∑|𝑎
𝑖𝑘
𝑥
𝑘
| ≤
𝑛
𝑘=1
≤ max
1≤𝑖≤𝑚
  |𝑥
𝑘
|   max
1≤𝑖≤𝑚
∑|𝑎
𝑖𝑘
|             
𝑛
𝑘=1
                 
 
Shuning uchun  
‖𝐴𝑥‖
‖𝑥‖
≤ max
1≤𝑖≤𝑚
∑|𝑎
𝑖𝑘
|             
𝑛
𝑘=1
 
Agar “oktaedrli” vector normadan kelib chiqasak 
‖𝑥‖
2
= ∑
|𝑥
𝑘
|
𝑛
𝑘=1
 ;           
‖𝑦‖
2
= ∑
|𝑦
𝑖
|
𝑚
𝑖=1
 
U holda 
                        
‖𝐴‖ = max
1≤𝑘≤𝑛
∑
|𝑎
𝑖𝑘
|
𝑚
𝑖=1
                                   
(5.20
′
)
 
Endi “ermitcha” vektor normalarni, 
‖𝑥‖
2
= ∑
|𝑥
𝑘
|
2
𝑛
𝑘=1
,  
‖𝑦‖
2
= ∑
|𝑦
𝑖
|
2
𝑛
𝑘=1
 
qaraymiz. U holda 
𝑆 = 𝐴𝐴
∗
 ermitcha musbat matrirsani kiritib,  quyidagiga ega 
bo’lamiz: 
‖𝐴𝑥‖
2
= 𝑦 ∗ 𝑦 = 𝑥
∗
𝐴𝑥
∗
𝐴𝑥 = 𝑥
∗
𝐴𝑥
∗
𝐴𝑥 = 𝑥
∗
𝑆𝑥,      ‖𝑥‖
2
= 𝑥
∗
𝑥.
 
Ammo bu holda 
               ‖𝐴‖
2
= max
𝑥≠0
𝑥
∗
𝑆𝑥
𝑥
∗
𝑥
= 𝑆
, 
bu yerda S  - 
𝐴𝐴
∗
 matritsaning maksimal harakteristik soni. Bu holda  
                                     
‖𝐴‖ = √𝑆
                                                   
(5.20
′′
)
 
Endi x va y ustun vektor uchun har xil normani kiritamiz. Masalan,  






n
k
i
n
i
k
y
y
x
x
1
1
1
2
max
,
 
bo’lsin u holda 

---

 
124 
2
1
1
1
1
max
x
a
x
x
a
Ax
n
k
k
n
k
k
ik
m
i









 
bu  yerda 
ik
n
i
a
a
max
1



.  Ikkinchi  tomondan,  agar 
pq
a
a

  bo’lsa,  u  holda  x
q
  ni 
q
q
pq
x
a
x
a

  shartni  qanoatlantiradigan  qilib  tanlab, 
q
j

  da 
0

j
x
  deb  olib 
2
1
x
a
Ax

  tenglikka ega bo’lamiz. 
 
Shunday qilib, bu holda  
                                        
ik
n
i
a
Ax
max
1



                                                  


0
2
.
5

 
bo’ladi. 
§3
. 
Adamar kriteriyasini  blok matritsalarga kengaytirish. 
n
n

 
o’lchovli A  matritsa
  s
2
   
ta  
p
n
n


 o’lchovli 

A
 bloklarga 
ajratilgan bo’lsin    
)
,..,
2
,
1
,
(
s



 
                             
𝐴 = (
𝐴
11
𝐴
12
… 𝐴
1𝑠
𝐴
21
𝐴
22
… 𝐴
2𝑠
. .
𝐴
𝑠1
. .
𝐴
𝑠2
. .
…
. .
𝐴
𝑠𝑠
)
                                  (5.21) 
bu  holda  R
n
  fazo  s  ta 
)
,...,
2
,
1
(
s
R
n



  qism  fazolarga  ajraladi.  Ixtiyoriy 
n
R
x

 
vector uchun quyidagi yoyilma o’rinli bo’ladi. 
                           
)
,..,
2
,
1
,
(
1
s
R
x
x
x
n
s










                                     


1
2
.
5

 

n
R
 qism fazolarda vector normalar kiritamiz. 

A
 blok matritsa 

n
R
 qism fazoni 

n
R
 qism fazoga akslantiradi, u holda u quyidagi norma bilan aniqlanadi: 
                                 









n
n
x
R
x
R
x
R
x
A
A
n
sup
0



                                              (5.22) 
xususiy holda 

A
 kvadrat matritsaning normasi quyidagicha aniqlanadi: 
                                  







x
x
A
A
x
R
x
n
sup
0



                                                 


2
2
.
5

     
Agar 
0


A
 bo’lsa, u holda 
0


A
 bo’ladi. U holda 


2
2
.
5

 dan quyidagi kelib 
chiqadi: 

---

 
125 







x
A
x
A
x
R
x
n
sup
0
1




 
Demak, 
                                   







x
x
A
A
x
R
x
n
inf
0
1
1





                                                 (5.23) 
bu tenglikning o’ng tomoni 

A
-xos matritsa bo’lgan holda ham ma’noga ega. 
 
Endi 
0

A
 va 
0

x
 da 
0

Ax
 bo’lsin.  (5.21) va 


1
2
.
5

 dan kelib chiqib, 
quyidagini yozaolmaymiz: 
                                






s
s
x
A
x
A








1
)
,..,
2
,
1
(
                              (5.24) 
bundan, 


8
1
.
5

 va (5.19) ga asosan 
                









s
s
s
x
A
x
A
x
A
0
1
0
1
)
,..,
2
,
1
(
,











                  (5.25) 
ikkinchi tomondan, (5.23) dan kelib chiqadiki, 
              











s
s
s
x
A
x
A
x
A
0
1
0
1
1
1
)
,..,
2
,
1
(
,











              
  (5.26)