Teorema 5.2.
(Olga Tauski teoremasi).
Agar a - yoyilmaydigan matritsa uchun (5.13) Adamarning kuchsizlantirilgan
shartda > belgi o’rinli bo’lsa, u holda A matritsa xosmas bo’ladi.
Bu teoremada
𝐻
𝑖
≥ 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
shartlarni
𝐺
𝑖
> 0 (𝑖 =
1,2, … , 𝑛)
shartlar bilan almashtirish mumkin.
§2. Matritsa normasi.
Har bir
𝑥 ∈ 𝑅
𝑛
vektorga bitta manfiymas
‖𝑥‖
sonni mos qo’yamiz.
𝑅
𝑛
fazodagi ixtiyoriy x,y vektorlar va
- ixtiyoriy skalyar uchun quyidagi shartlar
bajariladi:
1.
‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖
+
‖𝑦‖
2.
‖
x‖ = |
|‖𝑥‖
,
3.
‖𝑥‖ > 0
agarda
𝑥 ≠ 0
bo’lsa.
4.
Shartda
= 0
desak,
‖𝑥‖
=0 dagina bajarilishi kelib chiqadi.
Bundan tashqari 2. Shartdan kelib chiqadiki, ixtiyoriy
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
𝑛
vektorlar
uchun
‖𝑥 − 𝑦‖ ≥ ‖𝑥‖ − ‖𝑦‖
Quyidagi normalarni kiritish mumkin; vektorlarning “kubik” normasi
122
‖𝑥‖
1
=
𝑚𝑎𝑥
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛|𝑥
𝑖
|
(5.17)
yoki “oktaedrli” norma
‖𝑥‖
1
= ∑|𝑥
𝑖
| (5. 17
′
)
𝑛
𝑖=1
“Ermitcha” norma
‖𝑥‖
3
= √∑|𝑥
𝑖
|
2
𝑛
𝑖=1
(5. 17
′′
)
Osongina tekshirib ko’rish mumkinki, bu normalar 1.,2., 3. Shartlarni
qanoatlantiradi.
Endi
𝑚 × 𝑛
o’lchovli to’g’ri to’rtburchakli A matritsani va shu bilan
birga uni y=Ax chiziqli alamshtirishni qaraymiz.
𝑥, ∈ 𝑅
𝑛
,
𝑦 ∈ 𝑆
𝑚
vektorlar.
Bu fazolarda vektorlarning
‖𝑥‖
𝑅
= ‖𝑥‖
va
‖𝑔‖
𝑠
= ‖𝑦‖
normalarni
kiritib, A matritsaning normasini quyidagicha aniqlaymiz:
‖𝐴‖ =
𝑠𝑢𝑝
𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0
‖𝐴𝑥‖
𝑠
‖𝑥‖
𝑅
(5.18)
Normaning ta’rifidan quyidagi munosabat kelib chiqadi:
‖𝐴𝑥‖
𝑠
≤ ‖𝐴‖‖𝑥‖
𝑅
(5.18
|
)
‖𝐴 + 𝐵‖ ≤ ‖𝐴‖
+
‖𝐵‖
(5.19)
‖
A‖ = |
|‖𝐴‖
(5.19
|
)
pxn
o’lchovli B matritsa
𝑅
𝑛
ni
𝑆
𝑝
ga akaslantirsin, u holda AB matritsa
𝑅
𝑛
ni
𝑇
𝑚
ga akslantiradi.
𝑅
𝑛
, 𝑆
𝑝
,
𝑇
𝑚
fazolarda vector normalarini va ular
yordamida matritsalar normalarini kiritib, quyidagi tengsizlikka kelamiz:
‖𝐴𝐵‖ ≤ ‖𝐴‖‖𝐵‖
(5.19
′
)
Masalan, agar “kubik” vector normalar, (5.17) dan kelib chiqsak, u holda
𝐴 =
‖𝑎
𝑖𝑘
‖ (𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑘 = 1,2, … , 𝑛)
matritsaning normasi quyidagicha
aniqlanadi:
123
‖𝐴‖ = max
1≤𝑖≤𝑚
∑
|𝑎
𝑖𝑘
| (5.20)
𝑛
𝑘=1
Haqiqqatan bu holda
‖𝐴𝑥‖
1
= max
1≤𝑖≤𝑚
∑|𝑎
𝑖𝑘
𝑥
𝑘
| ≤
𝑛
𝑘=1
≤ max
1≤𝑖≤𝑚
|𝑥
𝑘
| max
1≤𝑖≤𝑚
∑|𝑎
𝑖𝑘
|
𝑛
𝑘=1
Shuning uchun
‖𝐴𝑥‖
‖𝑥‖
≤ max
1≤𝑖≤𝑚
∑|𝑎
𝑖𝑘
|
𝑛
𝑘=1
Agar “oktaedrli” vector normadan kelib chiqasak
‖𝑥‖
2
= ∑
|𝑥
𝑘
|
𝑛
𝑘=1
;
‖𝑦‖
2
= ∑
|𝑦
𝑖
|
𝑚
𝑖=1
U holda
‖𝐴‖ = max
1≤𝑘≤𝑛
∑
|𝑎
𝑖𝑘
|
𝑚
𝑖=1
(5.20
′
)
Endi “ermitcha” vektor normalarni,
‖𝑥‖
2
= ∑
|𝑥
𝑘
|
2
𝑛
𝑘=1
,
‖𝑦‖
2
= ∑
|𝑦
𝑖
|
2
𝑛
𝑘=1
qaraymiz. U holda
𝑆 = 𝐴𝐴
∗
ermitcha musbat matrirsani kiritib, quyidagiga ega
bo’lamiz:
‖𝐴𝑥‖
2
= 𝑦 ∗ 𝑦 = 𝑥
∗
𝐴𝑥
∗
𝐴𝑥 = 𝑥
∗
𝐴𝑥
∗
𝐴𝑥 = 𝑥
∗
𝑆𝑥, ‖𝑥‖
2
= 𝑥
∗
𝑥.
Ammo bu holda
‖𝐴‖
2
= max
𝑥≠0
𝑥
∗
𝑆𝑥
𝑥
∗
𝑥
= 𝑆
,
bu yerda S -
𝐴𝐴
∗
matritsaning maksimal harakteristik soni. Bu holda
‖𝐴‖ = √𝑆
(5.20
′′
)
Endi x va y ustun vektor uchun har xil normani kiritamiz. Masalan,
n
k
i
n
i
k
y
y
x
x
1
1
1
2
max
,
bo’lsin u holda
124
2
1
1
1
1
max
x
a
x
x
a
Ax
n
k
k
n
k
k
ik
m
i
bu yerda
ik
n
i
a
a
max
1
. Ikkinchi tomondan, agar
pq
a
a
bo’lsa, u holda x
q
ni
q
q
pq
x
a
x
a
shartni qanoatlantiradigan qilib tanlab,
q
j
da
0
j
x
deb olib
2
1
x
a
Ax
tenglikka ega bo’lamiz.
Shunday qilib, bu holda
ik
n
i
a
Ax
max
1
0
2
.
5
bo’ladi.
§3
.
Adamar kriteriyasini blok matritsalarga kengaytirish.
n
n
o’lchovli A matritsa
s
2
ta
p
n
n
o’lchovli
A
bloklarga
ajratilgan bo’lsin
)
,..,
2
,
1
,
(
s
𝐴 = (
𝐴
11
𝐴
12
… 𝐴
1𝑠
𝐴
21
𝐴
22
… 𝐴
2𝑠
. .
𝐴
𝑠1
. .
𝐴
𝑠2
. .
…
. .
𝐴
𝑠𝑠
)
(5.21)
bu holda R
n
fazo s ta
)
,...,
2
,
1
(
s
R
n
qism fazolarga ajraladi. Ixtiyoriy
n
R
x
vector uchun quyidagi yoyilma o’rinli bo’ladi.
)
,..,
2
,
1
,
(
1
s
R
x
x
x
n
s
1
2
.
5
n
R
qism fazolarda vector normalar kiritamiz.
A
blok matritsa
n
R
qism fazoni
n
R
qism fazoga akslantiradi, u holda u quyidagi norma bilan aniqlanadi:
n
n
x
R
x
R
x
R
x
A
A
n
sup
0
(5.22)
xususiy holda
A
kvadrat matritsaning normasi quyidagicha aniqlanadi:
x
x
A
A
x
R
x
n
sup
0
2
2
.
5
Agar
0
A
bo’lsa, u holda
0
A
bo’ladi. U holda
2
2
.
5
dan quyidagi kelib
chiqadi:
125
x
A
x
A
x
R
x
n
sup
0
1
Demak,
x
x
A
A
x
R
x
n
inf
0
1
1
(5.23)
bu tenglikning o’ng tomoni
A
-xos matritsa bo’lgan holda ham ma’noga ega.
Endi
0
A
va
0
x
da
0
Ax
bo’lsin. (5.21) va
1
2
.
5
dan kelib chiqib,
quyidagini yozaolmaymiz:
s
s
x
A
x
A
1
)
,..,
2
,
1
(
(5.24)
bundan,
8
1
.
5
va (5.19) ga asosan
s
s
s
x
A
x
A
x
A
0
1
0
1
)
,..,
2
,
1
(
,
(5.25)
ikkinchi tomondan, (5.23) dan kelib chiqadiki,
s
s
s
x
A
x
A
x
A
0
1
0
1
1
1
)
,..,
2
,
1
(
,
(5.26)
Dostları ilə paylaş: |