O‟zbekiston respublikasi oliy va o‟rta maxsus ta‟lim vazirligi qo'qon davlat pedagogika instituti Tabiiy fanlar fakulteti Kimyo kafedrasi Kimyo yo'nalishi

 

Faraz qilaylik, P₁ {X₁, Y₁} va P₂ {X₂, Y₂} vektorlar berilgan bo„lsin. Bu
   
vektorlar orasidagi burchakni, agar u P₁ dan P₂ ga qarab o„lchansa, P₁, P₂ ko„rinishda ifodalaymiz; agar bu burchak yo„nalishi bilan bir xil bo„lsa, bu burchakni musbat qiymatlar bilan ifodalaymiz, aks holda bu burchak kattaligini
  manfiy qiymatlar bilan ifodalaymiz. P₁ vaP₂ lar orasidagi burchakni topaylik. Agar

 

P₁ vaP₂ vektorlarning Ox o„q bilan tashkil etgan burchaklari mos ravishda ₁ va ₂bo„lsa, u holda
₂ ₁
Bundan
coscos₂ ₁, sinsin₂ ₁
yoki
cos₂ ₁cos₂ cos₁ sin₂ sin₁, sin₂ ₁sin₂ cos₁ sin₁ cos₂^,

XX¹ , sin₁  Y2¹ Y₁2 cos₁  2 Y₁2 X_{1 
1}
ekanligini e‟tiborga olsak,
cos X¹ X^{2 Y1Y2} (2)
X₁2 Y₁2 X₂2 Y₂2
sin_ X¹Y^{2 X2Y1} (3)
X₁2 Y₁2 X₂2 Y₂2
munosabatlarni hosil qilamiz. (2) formulaning o„ng tomoni vektorlarning
 koordinatalariga nisbatan simmetrik bo„lsa, (3) formulaning o„ng tomoni, P₁ bilan 
P₂ning o„rinlarini almashtirganda, o„z ishorasini teskarisiga almashtiradi. Shu sababli,
P^₂,P^₁P^₁,P^₂2k
   
            cos P₂,P₁ cos P₁,P₂ , sin P₂,P₁ sin P₁,P₂
bo„ladi.

  

Misol. Q_{3; 4} vektor bilan Q^P_60⁰ burchak tashkil etuvchi, uzunligi 2
 bo„lgan P vektorni toping.
 
Yechish. Agar Ox, Q desak, u holda 60⁰ Ox, P bo„ladi. Shu sababli, cos , sin ekanligi uchun
X 2cos60⁰2coscos60⁰ sinsin60⁰
2cos1 sin 3  3  4 3 3^{4 3} ,
 2 2  5 5 5
Y2sin60⁰2sincos60⁰ cossin60⁰
2 4 1  3 3 _ 4^3 3
 5 2 5 2  5

   

VII. Boshlari A nuqtaga keltirilgan P₁ AB{X₁, Y₁} va P₂ AC{X₂, Y₂} vektorlar berilgan bo„lsin.
y y

C D
 B A

A  C
O x O x a) b)
4-rasm
B va C uchlarini birlashtirib ABC uchburchakni hosil qilamiz. Shu
uchburchak yuzini hisoblaylik. Agar P^₁, P^₂ bo„lsa, ma‟lumki
1  

S P₁ P₂ sin
2
(4)

 

Bu yerda, agar P₁, P₂ vektorlar aniqlaydigan aylanma yo„nalish Oxy tekislikning musbat aylanma yo„nalishi bilan bir xil bo„lsa (4-rasm, a)), yuza qiymati musbat, aks holda (4-rasm, b)) manfiy bo„ladi. Endi (4) da sin  o„rniga (3) ni qo„ysak:

S_ ¹X₁Y₂ X₂Y₁_^{1 X1 Y1} (5)
2 2 X₂ Y₂
formulani hosil qilamiz.

 

Agar P₁ va P₂ vektorlarga tortilgan parallelogrammni ko„rsak, uning yuzi uchun

X1 Y1
S  X2 Y2
formulaga ega bo„lamiz.
Endi faraz qilaylik, ABC uchburchakning uchlari
 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) nuqtalarda bo„lsin. Berilgan uchburchakning yuzi AB

va AC vektorlarga qurilgan uchburchak yuziga teng bo„ladi. Agar

AB(x₂ x₁, y₂  y₁), AC(x₃ x₁, y₃  y₁)
ekanligini e‟tiborga olsak, (5) formulaga ko„ra

x x1 y2 y
S
2 x x₁ y₃ y
yoki
x1 y1 1
S x₂ y₂ 1 x3 y3 1
formulalarga ega bo„lamiz.^ _
VIII. Ta‟rif. ^a va b vektorlarning skalyar ko„paytmasi deb, ular
uzunliklarining, ular orasidagi burchak kosinusiga bo„lgan ko„paytmasiga aytamiz, ya‟ni

5-rasm a,^b) a

Vektorning proyeksiyasini ta‟rifiga ko„ra, a cos_ (bu yerda _
 vektorning b vektordagi proyeksiyasiga teng bo„ladi, shu sababli skalyar ko„paytmani
     

ab  b пр_b a a пр_a b
ko„rinishda ham yozsa bo„ladi (5-rasmga qarang). Skalyar ko„paytma quyidagi xossalarga ega:
⁰. abba,
1
20. abcabac
⁰. a ^b a^b (,_ - ixtiyoriy sonlar)
3

40. aaa2  a 2,
^ ^{ }
5⁰.^ab 0 bo„lishi uchun ^a va ^b lar o„zaro perpendikulyar bo„lishi zarur va yetarlidir.
1⁰-xossaning isboti.
     

ab  a  b cosba
2⁰, 3⁰, 4⁰-xossalarning isbotini bajarishni o„quvchining o„ziga havola qilamiz.
5⁰-xossaning isboti. Zarurligi. _a^_b^0 bo„lsin. U holda, 0_a^b^_ a^ _ b^ _cos_

dan a^ 0, b^ 0 bo„lgani uchun cos0, o„z navbatida bundan _^, ya‟ni ^a^b
2 ekanligi kelib chiqadi.
Yetarligi. Agar _a^^b^^ bo„lsa, u holda cos_0, shu sababli 2
    
ab  a  b cos 0 bo„ladi.
2
5⁰-xossa vektorlarning perpendikulyarlik sharti deb ataladi. 4⁰ va 5⁰ - xossalarga asosan
           
i i  j j k k 1, i  j i k  jk 0

 

Endi agar ax₁, y₁,z₁, b x₂, y₂,z₂ bo„lsa, u holda abx₁ i y₁ j z₁ kx₂ i y₂ j z₂ k ₂ x₁ y₂ ij _ x₁ x₂ i _

          

x1 z2 i k  y1 x2 ji  y1 y2 j2  y1 z2 jk z1 x2 k i z1 y2 k  j 

z1 z2 k 2 x1 x2  y1y y2 z1 z2

 

Xususan, agar ab bo„lsa,
    2 _{2 2}
1
yoki
bo„ladi.
Bu formuladan foydalanib, fazoning ixtiyoriy Ax₁, y₁,z₁, Bx₂, y₂,z₂ nuqtalari orasidagi masofa d_AB ni quyidagicha topsa bo„ladi:
 ^{2 2 2}

d_AB  a  AB  x₂ x₁ y₂  y₁ z₂ z₁
1-misol. (1, 1, 1) va (1,2,3) vektorlarning uzunligini toping.
Yechish.

1,1,1  1² 1² 1²  3, 1,2,3  1² 2² 3²  14
2-misol. _a^_1,0,1 va _b^_1,2,2 vektorlar orasidagi burchakni toping. Yechish. Skalyar ko„paytmaning ta‟rifidan
  ab
cos  a  b
formulani keltirib chiqaramiz. Bundan
a  1 0 1 

  ab 110212123 Demak,
3 1 ^
cos  ,  .
3 2 2 4
Faraz qilaylik, berilgan a^ vektor x o„qi bilan  burchak, y o„qi bilan _ burchak, z o„qi bilan  burchak tashkil etsin. U holda
 

24. 
    пр_z a  a cos,
    

 

24. 
    пр_z a  a cos,
    

 

24. 
    пр_z a  a cos
    

ekanligidan
X
, (6)
kelib chiqadi.
(6) ni kvadratlarga ko„tarib, o„zaro qo„shsak,
² cos²cos² XX 2₂ Y_Y 22 _Z_Z22 1 munosabatni hosil qilamiz. (6) dan
cos 
topiladigan cos_, cos_ va cos qiymatlar a^ vektorning yo„naltiruvchi kosinuslar deb ataladi.
Agar a^e^l,m,n ort bo„lsa, u holda
lcos, mcos, ncos
bo„ladi.

1^ -xossa. a₁, a₂ ,...,a_m vеktorlar sistеmasining istalgan vеktori bu sistеma orqali chiziqli ifodalanadi, ya'ni