Reja: Ishonchlilik intervallarini qurish

Ishonchlilik intervallarini qurish. Aniq ishonchli intervallar
Reja:

1. 
   Ishonchlilik intervallarini qurish
   
2. 
   Aniq ishonchli intervallar
   
3. 
   Intervallar haqida misollar
   

Ishonchlilik intervallarini qurish. Aniq ishonchli intervallar Tengsizliklarni yechishda ko`pincha intervallar usuli qo`llaniladi. Bu usulni misollarda tushuntiramiz.

1-masala. x ning qanday qiymatlarida x²–4x+3 kvadrat uchhad musbat qiymatlar, qanday qiymatlarida esa manfiy qiymatlar qabul qilishini aniqlang.
x²–4x+3=0 tenglamaning ildizini topamiz:
x₁=1, x₂=3.
Shuning uchun x²–4x+3=(x–1)(x–3).
x=1 va x=3 nuqtalar (22-rasm) son o`qini uchta oraliqqa bo`ladi:
x<1, 1<x<3, x>3.
1<x<3 oraliq singari x<1, x>3 oraliqlar ham intervallar deyiladi.
Son o`qi bo`yicha o`ngdan chapga harakat qilib, x>3 intervalda x<sup>2</sup>–4x+3=(x–1)(x–3) uchhad musbat qiymatlar qabul qilishini ko`ramiz, chunki bu holda ikkala x–1 va x–1 ko`paytuvchi ham musbat.
Keyingi 1<x<3 intervalda shu uchhad manfiy qiymat qabul qiladi va, shunday qilib, x=3 nuqta orqali o`tishda ishorasini o`zgartiradi. Bu hol shuning uchun ham sodir bo`ladiki, (x–1)(x–3) ko`paytmada x=3 nuqta orqali o`tishda x–1 ko`paytuvchi ishorasini ishorasini o`zgartirmaydi, x–3 ko`paytuvchi esa ishorasini o`zgartiradi.
x=1 nuqta orqali o`tishda uchhad yana ishorasini o`zgartiradi, chunki (x–1)(x–3) ko`paytmada birinchi x–1 ko`paytuvchi ishorasini o`zgartiradi, ikkinchi x–3 ko`paytuvchi esa o`zgartirmaydi.
Demak, son o`qi bo`yicha o`ngdan chapga qarab harakat qilib bir intervaldan qo`shni intervalga o`ta borganda (x–1)(x–3) ko`paytmaning ishorasi almasha boradi.
Shunday qilib,
x²–4x+3
kvadrat uchhadning ishorasi haqidagi masalani quyidagi usul bilan yechish mumkin.

x^2–4x+3=0 tenglamaning ildizlarini son o`qida belgilaymiz. Ular son o`qini uchta intervalga ajratadi (22-rasm). x>3 intervalda x^2–4x+3 uchhadning usbat bo`lishini aniqlab, uchhadning qolgan intervallardagi ishoralarini almasha boradigan tartibda belgilaymiz (23-rasm). 23-rasmdan ko`rinib turibdiki, x<1 va x>3 bo`lganda x^2–4x+3>0, 1<x<3 bo`lganda esa x^2–4x+3<0.

Qarab chiqilgan usul intervallar usuli deyiladi. Bu usuldan kvadrat tengsizliklarni va ba’zi tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.
Masalan, 1-masalani yechganda biz aslida x²–4x+3>0 va x²–4x+3<0 tengsizliklarni intervallar usulida yechdik.
2-masala. x³–x<0 tengsizlikni yeching.
x³–x ko`phad ko`paytuvchilarga ajratamiz:
x³–x=x(x²–1)=x(x–1)(x+1).
Demak, tengsizlikni bunday yozish mumkin:
(x+1)x(x–1)<0.
Son o`qida –1, 0, va 1 nuqtalarni belgilaymiz. Bu nuqtalar son o`qini to`rtta intervalga ajratadi (24-rasm):
x<–1, –1<x<0, 0<x<1,  x>1.
x>1 bo`lganda (x+1)x(x–1) ko`paytmaning hamma ko`paytuvchilari musbat, shuning uchun x>1 intervalda (x+1)x(x–1)>0 bo`ladi. Qo’shni intervalga o`tishda ko`paytma ishorasining almashishini e’tiborga olib, har bir interval uchun (x+1)x(x–1) ko`paytmaning ishorasini topamiz (25-rasm).
Shuning uchun, tengsizlikning yechimlari x ning x<–1 va 0<x<1 intervallardagi barcha qiymatlari bo`ladi.