Shartli ehtimol. Hodisalarning bog`liqsizligi

HODISALARNING O'Z TO'PLAMIDA BOG'LIQSIZLIGI VA JUFT-JUFTI BILAN BOG'LIQSIZLIGI ORASIDAGI MUNOSABAT BERNSHTEYN MISOLI

Reja:

Kirish

1. 
   Shartli ehtimollik
   
2. 
   Hodisalarning bog’liqsizligi
   
3. 
   Shartli ehtimollik ustida misollar
   

Xulosa

Adabiyotlar

Shartli ehtimol. Hodisalarning bog`liqsizligi
Agar hodisa ehtimolligini topishda kompleks shartlardan boshqa shartlar talab qilinmasa, bunday ehtimollikni shartsiz ehtimollik deyiladi

Ko`pgina hollarda qandaydir tasodifiy hodisa ehtimolligini musbat ehtimolga ega bo`lgan boshqa bir tasodifiy hodisasi ro`y berganlik shartida topishga to`g`ri keladi. Bunday ehtimollikka shartli ehtimollik deyiladi va kabi belgilanib, ning shartidagi ehtimolligi deb o`qiladi.

Misol: O`yin soqqasi ikki marta tashlangan bo`lsin.

-tushgan ochkolar yig`indisi to`rtdan kichik bo`lish hodisasi, esa birinchi tashlaganda bir tutish hodisasi bo`lsin. hodisasi ro`y berganlik shartida hodisasining ro`y berish ehtimolligi topilsin.

Bu holga mos elementar hodisalar fazosi 36 ta elementdan iborat bo`ladi.

va hodisalar ning qism to`plamlari:

;

_.

Shuning uchun ham ehtimollikning klassik ta`rifiga asosan

; ; .

B hodisasi ro`y berganda A hodisasi ro`y berishiga (1,1),(1,2) elementar hodisalar imkon tug`diradi , shuning uchun ham

.

Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi ta bir xil imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo`lsin. Ulardan m tasi hodisasiga, tasi hodisasiga, tasi hodisasiga imkon tug`dirsin, ( ).

Shuning uchun ham, , va .

Ta`rif: -ehtimollik fazosi bo`lsin,

hodisasining hodisasi ro`y berganlik shartidagi shartli ehtimoli deb

(1)

ga aytiladi.

Ta`rifdan quyidagilar kelib chiqadi:

1) ; 2) ; 3)

4) Agar lar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan tasodifiy hodisalar ketma-ketligi bo`lsin ( ), u holda

(1) dan ga ega bo`lamiz. Xuddi shunday agar, <sub>bo`lsa,</sub> kelib chiqadi. Shunday qilib quyidagi teoremaga ega bo`lamiz:

Teorema (ko`paytirish teoremasi): Agar , bo`lsa

<sub>(2)

(2) ga ko`paytirish formulasi deyiladi.</sub>

tasodifiy hodisalar uchun bo`lsa,

bo`ladi.

Ta`rif: bo`lsa, hodisasi hodisasidan bog`liqmas deyiladi.

Agar hodisasi hodisasidan bog`liq bo`lmasa, hodisasi ham, hoisasidan bog`liq bo`lmaydi. Haqiqatan ham, ko`paytirish teoremasiga asosan hodisasi hodisasidan bog`liqmas bo`lganligi uchun ko`paytirish teoremasiga asosan

.

Bundan kelib chiqadi, ya`ni bog`liqmaslik o`zaro ekan.

Agar va hodisalari bog`liqmas bo`lsalar, va , va , va hodisalar juftliklari ham bog`lanmagan bo`ladi.

Masalan, va hodisalari bog`liqmaslikni ko`rsatamiz.

tengligidan bo`lganligi uchun

kelib chiqadi. Demak, va hodisalaribog`liqmas ekan.

Bog`liqmas hodisalar uchun ko`paytirish teoremasi

ko`rinishni oladi.

Endi hodisalarning bog`liqsizlik tushunchasini umumlshtiramiz.

Ta`rif. Agar har qanday va lar uchun

tenglik o`rinli bo`lsa, hodisalar birgalikda bog`liqmas deyiladi.

Ta`rifdan ko`rinadiki, birgalikda bog`liqmas hodisalar juft-jufti bilan bog`liqmas bo`ladi, lekin hodisalarning juft-jufti bilan bog`liqmasligidan ularning birgalikda bog`liqmasligi umuman olganda kelib chiqmaydi.

Bunga quyidagi misol yordamida ishonch hosil qilish mumkin.

S. N. Bernshteyn misoli: Tetraedrning birinchi yog`i qizil rangga ( ), ikkinchi yog`i ko`k rangga ( ), uchinchi yog`i sariq rangga ( ), to`rtinchi yog`i uchala rangga ( ) bo`yalgan. Tetraedr tashlanganda tushgan yoqda qizil, ko`k, sariq ranglarning ko`rinish ehtimollari teng va

.

Shartli ehtimollar esa

.

Demak mos shartli va shartsiz ehtimollar teng. Bu esa hodisalari juft-jufti bilan bog`liqmasligini ko`rsatadi.

Lekin va hodisalari ro`y berganligi ma`lum bo`lsa, albatta hodisasi ham ro`y beradi, ya`ni

.

Demak hodisalari birgalikda bog`liq ekan.

Teorema. ehtimollik fazosi berilgan bo`lsin. hodisalari birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la guruhini tashkil qilsin ( ). U holda ixtiyoriy uchun

(3)

o`rinli bo`ladi.

(3) formulaga to`la ehtimollik formulasi deyiladi.

Isboti. va lar birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la guruhini tashkil qilganligi uchun

, va ( ).

Qo`shish aksiomasi va sharli ehtimollik formulasiga asosan

.

Teorema isbot bo`ldi.

Masala. ta nazorat variantlaridan tasi “baxtli” birinchi variant olishga kelgan talabaning “baxtli” variant olish ehtimoli kattami, yoki ikkinchiniki.

Yechish. Birinchi talabaning “baxti” variant olish ehtimoli ga teng.

-birinchi talabaning “baxtli” variant olish hodisasi, -birinchi talabaning “baxtli” variant olmaslik hodisasi va -ikkinchi talabaning “baxtli” variant olish hodisasi bo`lsin. U holda to`la ehtimollik formulasiga asosan

.

Demak, ikkinchi talabaning “baxtli” variant olish ehtimoli ham ga teng ekan.

Endi -hodisasi ro`y bergan bo`lsa, qaysi orqali ro`y berganlik ehtimoli uchun formula keltirib chiqaramiz. Oldingi teorema shartlarida ko`paytirish teoremasiga asosan

.

Bundan to`la ehtimollik formulasiga asosan

( ) (4)

Bu formulaga Beyes formulalari deyiladi.

Masala. Idishda n ta shar bor . Oq sharlar haqida -( ) ta gipoteza bo`lishi mumkin.

-idishda ta oq shar bo`lish hodisasi bo`lsa bo`ladi. Idishdan olingan shar oq bo`lib chiqdi. (B hodisasi) Idishda ta oq sharlar bo`lgan bo`lish ehtimoli topilsin.

, u holda (4) formulaga asosan

Shunday qilib gipoteza katta ehtimolli ekan.