Va xos vektorlarni topish

A.N.Krilov metodi.
Akademik A.N.Krilov 1931 yilda xos sonlar muammosini yechishning qulay metodini yaratadi. U ooyasini tushuntirish uchun berilgan matrisa bilan boglgan oddiy differensial tenglamalar sistemasini kiritadi va uning ustida almashtirish olib boradi. Bu almashtirishning algebraik mohiyatini aniqlash bilan N.N.Luzin, I.N.Xladovskiy, F.R.Gantmaxer, D.K.Faddevlar shugrib chiqamiz.
Matrisalarning minimal korif va teoremalarni keltiramiz. Agar kvadrat matrisa uchun
tenglik olsa, u holda
kophad deyiladi. Faqat keltirilgan, yalgan kophadlarning tosh emas, Gamilton-Keli teoremasiga kophadi uning nolga aylantiruvchi kophad mavjud. Bunday kolinadigan har qanday boshqa kophad bophadlar orasida eng kichik darajaga ega bophad mavjud. Bu kophadi deyiladi. Har qanday nolga aylantiruvchi kophadi ham minimal kolinadi. Minimal kophadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir.
Yana quyidagi tushunchani kiritamiz. Faraz qilaylik, biror vektor bolumki, olishi mumkin emas. Shuning uchun
(11.8)
vektorlar orasida chiziqli boglanish mavjud. Demak, matrisaning minimal kolsa, (11.8) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni dan kichikdir. Berilgan vektor uchun
(11.10)
tenglikni qanoatlantiradigan kolgan eng kichik darajali yagona korinli bophad vektorning minimal kophadning boladi. Xususiy holda, ixtiyoriy vektorning minimal kophadi ning boladi. Agar (11.8) sistemada vektorlar chiziqli erkli boliq bophad matrisaning minimal koluvchisi ga teng.
Minimal korib chiqamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib,
(11.11)
vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida
(11.12)
chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, larni topish uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bolgandagina noldan farqlidir, chunki bu determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan.
Agar Gauss metodining tori yurishidagi barcha qadam bajarilib, (11.13) sistema quyidagi
(11.14)
uchburchak shaklga keltirilsa, u holda bogladi. Kerakli
chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:
(11.15)
Bu sistemadan Gauss metodi yordamida ta chiziqli erkli tenglamalarni ajratib olib, kogffisiyentlarki topamiz.
Shunday qilib, biz bophadini va boluvchisini topishimiz mumkin. Avval boraylik. Bu xolda (11.12) chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari
xos kora
.
Bu tenglikni vektorga kolamiz. Bu tenglikni (11.12) dan ayirib,
(11.16)
ni hosil qilamiz.
vektorlar chiziqli erkli bolgandagina bajariladi.
Demak, borinishiga qarab, A matrisaning xos kolsa, qurilgan chiziqli kombinasiya
(11.17)
kodadi. Endi larni hisobga olib (2.10) tenglikni
yoki
kophadi ning koeffisiyentlaridir. Bunday kolganligi uchun yagonadir.
Shunday qilib, boluvchisini topamiz va tenglamani yechib, matrisaning bir qism xos sonlarini topamiz. Dastlabki vektorni boshqacha tanlab, qolgan xos sonlarni ham topish mumkin. Shu bilan birga yangi tanlangan vektor oldin aniqlangan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi botamiz. Faraz qilaylik,
minimal kolsin (keyingi mulohazalar va hollar uchun bir xil). A matrisaning xoc soniga mos keladigan xoc vektorini oldingi punktda topilgan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi shaklida izlaymiz:
. (11.18)
Bu tenglikni A ga kolamiz. Bundan tashqari, yana
ni hisobga olsak, u holda (11.19) ni
yoki
korinlidir, chunki
.
Bu tenglikdan hisoblashni kontrol qilish uchun foydalanish mumkin. Hisoblashni soddalashtirish maqsadida deb olishimiz mumkin. Unda qolganlari quyidagicha topiladi:
(11.20)
Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish maliq muammosi.

Aniq yoki tori metodlar va iterasion usullar.

http://fayllar.org