Vi bob matematik nazariyalar

6.9.2. Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi teoremasi. Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi teoremasi deganda Gyodelning quyida ifodalangan ikkita teoremasiga qo‘yilgan umumiy nom tushuniladi.
Gyodelning birinchi teoremasi (to‘liqsizlik haqida). Minimum arifmetikani qamrab olgan har qanday qarama-qarshilikka ega bo‘lmagan formal sistemada va, demak, natural sonlar nazariyasida formal yechilmovchi fikr topiladi, ya’ni shunday yopiq formula topiladiki, na , na ni sistemada keltirib chiqarish mumkin emas.
G yodelning birinchi teoremasi quyidagini bildiradi: arifmetikada qanday aksiomalar tizimi tanlashimizdan qat’iy nazar, formal nazariya tilida ifodalangan natural sonlar haqida shunday mulohaza topiladiki, uni berilgan nazariyada na isbot qilib bo‘ladi va na rad etib bo‘ladi.
Gyodelning ikkinchi teoremasi (to‘liqsizlik haqida). Tabiiy qo‘shimcha shartlar bajarilganda o‘rnida ko‘rilayotgan sistemaning qarama-qarshilikka ega emasligi haqidagi tasdiqni olish mumkin.


Muammoli masala va topshiriqlar

1. Agar berilgan va interpretasiyalarning izomorfizmi bo‘lsa, u holda nazariyaning formulasi va soha elementlari ketma-ketligi ning qanday bo‘lishidan qat’iy nazar, formula mos ketma-ketlikda bajariluvchi bo‘lganda va faqat shundagina da bajariluvchi bo‘lishini formuladagi kvantorlar va mantiqiy bog‘lovchilar soniga qarab induksiya metodi bilan isbotlang.

   
   

2. Agar va interpretasiyalar izomorf bo‘lsa, u holda ularning sohalari bir xil quvvatga ega bo‘lishini isbotlang.

   
   

3. Evklid geometriyasining qat’iy matematik nazariyaga misol bo‘la olishini ko‘rsating.

   
   

4. Har qanday absolyut to‘liq nazariya tor ma’noda ham to‘liq bo‘lishini isbotlang.

   
   

5. Predikatlar hisobining formulasi uchun formula mulohazalar hisobining formulasi bo‘lishini ko‘rsating.

   
   

Mustaqil ishlash uchun savollar

1. Interpretasiyaning izomorfizmligi deganda nimani tushunasiz?

   
   

2. Nazariyaning qat’iyligini qanday tushunish kerak?

   
   

3. Bajariluvchi formula nima?

   
   

4. -qat’iy nazariya deganda nimani tushunasiz?

   
   

5. Zidsiz va ziddiyatga ega bo‘lgan nazariyalarga misollar keltira olasizmi?

   
   

6. Zidsizlik muammosi deganda nimani tushunasiz?

   
   

7. Absolyut to‘liq nazariya bilan tor ma’noda to‘liq nazariya bir-biridan qanday farq qiladi?

   
   

8. To‘liqlilik muammosi deganda nimani tushunasiz?

   
   

9. Nazariyaning yechilish muammosi nima?

   
   

10. Birinchi tartibli predikatlar hisobi va uning zidsizligi haqida nimani bilasiz?

    
    

11. Peano aksiomalar sistemasi qanday sistema hisoblanadi?

    
    

12. Natural sonlar nazariyasining maxsus aksiomalarini bilasizmi?

    
    

13. Aksiomalar sistemasidan qanday natijalar kelib chiqadi?

    
    

Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi birinchi va ikkinchi teoremalarini qanday tushunish kerak?

1 Bu ibora Norvegiya matematigi Abel Nils Xenrik nomi bilan bog‘liq.

2 Lobachevskiy Nikolay Ivanovich (Никола́й Ива́нович Лобаче́вский, 1792-1856) – rus matematigi.

3 Dedekind Yulius Vilgelm Rixard (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916) – olmon matematigi.

4 Peano (Giuseppe Peano, 1858-1932) – Italiya matematigi, “latino-sine-fleksione” (lotinchadan “so‘zlari o‘zgarmagan lotincha” ma’nosini beradi) nomli xalqaro sun’iy til ijodkori.

5 Edmund Landau (Edmund Georg Hermann (Yehezkel) Landau, 1877-1938) – olmon matematigi.

6 II bobning 1- paragrafiga qarang.

7 Postulat – aksiomaning sinonimi.

http://fayllar.org