Kvantorlar. Predikatlar ustida amallar

Mavzu: Predikatlar va ular ustida amallar


Reja:

1. 
   Predikatlar va to’plamlar haqida umumiy tushuncha.
   
2. 
   Kvantorlar.
   
3. 
   Predikatlar ustida amallar.
   

1. Predikatlar va to’plamlar haqida umumiy tushuncha.


Ta’rif. O‘zgaruvchi qatnashgan va o‘zgaruvchi o‘rniga qiymatlar qo‘yilgandagina chin yoki yolg‘on fikrga aylanadigan darak gap predikat deyiladi.
Predikatlar tarkibiga kirgan o‘zgaruvchilar soniga qarab bir o‘rinli, ikki o‘rinli va hokazo bo‘ladi. Bir o‘rinli predikatlar A(x), B(x) … ko‘rinishda, ikki o‘rinli predikatlar A(x, y), B(x, y) … ko‘rinishda belgilanadi.

Predikat tarkibiga kirgan o‘zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo‘lgan barcha qiymatlar to‘plami predikatning aniqlanish sohasi deyiladi. Aniqlanish sohasi X, Y, Z … kabi belgilanadi.

A(x) predikatdagi x o‘zgaruvchi o‘rniga qo‘yilganda uni chin fikrga aylantiruvchi qiymatlar uning chinlik to‘plami deyiladi va uni T_A harfi bilan belgilaymiz.


Misollar.
1. A(x): “x natural son tub son”. Bunda X=N, T_A={tub sonlar}.
2. A(x): “x yozuvchi “Navoiy” romanini yozgan”. Bunda x={yozuvchilar to‘plami}, T_A={Oybek}.
3. A(x): “x²–7x+12=0”. Bu yerda X=R, T_A={3, 4}.
4. A(x): “x+12>3”. Bu predikat uchun X=Z, T_A={x/x Z, x>–2}.
Mulohazalar algebrasi yordamida sodda mulohazalardan murakkab mulohazalar hosil qilinishi o’rgandik. Lekin mulohazalar mantiqi kamchiliklarga ega, ya’ni uning yordamida ob’yektlarning xossalari va ular orasidagi munosabatlarni yoritish mumkin emas. Bunday kamchiliklarni bartaraf qilishda peridikat tushunchasi muhimdir.
Ta’rif: Tarkibida erkin o’zgaruvchilar qatnashib, bu o’zgaruvchilarning qabul qilish mumkin bo’lgan qiymatlarida muloxazaga aylanadigan darak gapga predikat deyiladi.
x ob’yektning biror P xossaga ega bo’lishi P(x) kabi belgilanib, uni bir o’rinli predikat deyiladi.
Predikat ikki, uch, ...,n o’rinli ham bo’lishi mumkin. n o’rinli predikat P(x₁, x₂, …, x_n) orqali belgilanib, bu predikat biror A to’plamning x₁, x₂, …, x_n elementlari orasidagi P munosabatni bildiradi. Bir o’rinli predikatni unar, ikki o’rinli predikatni binar, uch o’rinli predikatni ternar predikatlar deyiladi. Nol o’rinli predikat o’zgarmas muloxazani bildiradi.
Masalan, P(x): “x – tub son” – bir o’rinli predikat, P(x; y): “x+y=5” – ikki o’rinli predikat, P(x; y; z): “x+2y+z=0” – uch o’rinli predikat bo’ladi.
Ta’rif: M to’plamning P(x) predikatni rost muloxazaga aylantiruvchi D qism to’plamiga P(x) predikatning rostlik sohasi deyiladi.
Ta’rif: Agar P(x) predikat M to’plamning barcha elementlarida rost (yolg’on) bo’lsa, u holda P(x) predikat M to’plamda aynan rost (yolg’on) deyiladi.
Bundan tashqari bajariluvchi predikat ham mavjud bo’lib, ular [1, 2] da keltirilgan.
n o’rinli predikatlar uchun ham aynan rost, aynan yolg’on predikatlar tushunchasini aniqlash mumkin.
Masalan, “x<0” – predikat N to’plamda aynan yolg’on, “x -musbat” predikat N to’plamda aynan rost predikat, “x-toq son” predikat esa N to’plamda bajariluvchi predikat bo’ladi.
Predikatlardan muloxaza hosil qilishning quyidagi ikkita usuli bilan tanishaylik:
Biror M to’plamning “Barcha (ixtiyoriy) x elementlari uchun” degan jumla qisqa , “Ba’zi bir x elementi uchun” degan jumla esa orqali belgilanib, ular mos ravishda umumiylik (ixtiyoriylik) va mavjudlik kvantorlari deyiladi.
“A to’plamning barcha x elementlari uchun f(x) predikat rost” degan jumla qisqacha f(x) ko’rinishda yoziladi. f(x) yozuvda belgi esa “A to’plamning shunday x elementi mavjudki (topiladiki), bu element uchun f(x) predikat rost” degan ma’noni bildiradi.
f(x) predikat A to’plamning barcha elementlar uchun rost bo’lgandagina f(x) muloxaza rost qiymatga ega, f(x) predikat aynan yolg’on bo’lganda f(x) muloxaza yolg’on, ya’ni yolg’on bo’ladi.
Ikki, uch, ..., n o’rinli predikatlar orqali ham kvantorli muloxazalar hosil qilish mumkin. Bu muloxazalarning har biri aynan rost yoki aynan yolg’on bo’lishi mumkin.
M to’plam qaralayotgan predikatlarning rostlik sohasi bo’lsin.