1-varyant super kengaytma funktori

2.4.5-teorema. Evklid fazosi da ixtiyoriy qavariq to‘plam bog‘lamlidir.
Isbot. Aytaylik, to‘plam qavariq bo‘lsin, ya’ni ixtiyoriy nuqtalar uchun o‘rinli.
Buning aksini faraz qilamiz, ya’ni bo‘sh bo‘lmagan ochiq to‘plamlar hamda
to‘plamni olaylik, bu yerda va .
Endi va to‘plamlarni ko‘raylik. Bu to‘plamlar bo‘sh bo‘lmagan kesishmaydigan to‘plamlardan iborat. Ular uchun tenglik o‘rinlidir. Bu esa, kesmaning bog‘lamliligiga ziddir.
Evklid fazosi da quyidagi to‘plamlarni olamiz.

─ ochiq shar, ─ yopiq shar deyiladi, ba’zida ular mos ravishda ochiq (yopiq) “disk” deb ham yuritiladi. Yuqoridagi teoremadan bevosita quyidagilar kelib chiqadi.
2.4.6-natija. fazo va , disklar bog‘lamlidir.
2.4.7-teorema. Uzluksiz akslantirishlarda bog‘lamlilik saqlanadi. Ya’ni, uzluksiz akslantirishda bog‘lamli fazo aksi (obrazi) bog‘lamli bo‘ladi.
Isbot. uzluksiz akslantirish berilgan bo‘lsin. bog‘lamli fazo bo‘lsin. Biz bu yerda akslantirishni syurektiv deb olishimiz mumkin, ya’ni ixtiyoriy nuqta uchun . Agar to‘plam ning ochiq va yopiq to‘plami bo‘lsa, u holda to‘plam ning ochiq va yopiq to‘plami bo‘ladi. Bu holda yoki , qolaversa, yoki bo‘lishi mumkin. Bu fazoning bog‘lamli ekanligini ko‘rsatadi.
Endi formula orqali aniqlangan akslantirishni olaylik, bu yerda ─ aylana. Bu akslantirish syurektiv va uzluksizdir. Bundan ko‘rinadiki, aylana bog‘lamlidir.
2.4.8-natija. Agar va gomeomorf topologik fazolar bo‘lsa, fazo bog‘lamli bo‘lishi uchun ning bog‘lamli bo‘lishi zarur va yetarlidir.
2.4.9-teorema. Agar topologik fazo ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi nuqtalarni o‘zida saqlagan bog‘lamli to‘plamostiga ega bo‘lsa, bog‘lamli bo‘ladi.
Isbot. Buning teskarisini olaylik, ya’ni topologik fazo bog‘lamli bo‘lmasin. U holda fazoni o‘zaro umumiy nuqtaga ega bo‘lmagan ikki bo‘linmas ochiq to‘plamlar birlashmasi ko‘rinishida yozishimiz mumkin.
Demak, , – ochiq to‘plamlar. Aytaylik, va bo‘lsin. to‘plam va nuqtalarni o‘zida saqlovchi bog‘lamli to‘plam bo‘lsin. Quyidagi to‘plamlarni olaylik: va . Bu to‘plamlar bo‘sh emas va da ochik to‘plamlardir. Ularning birlashmasi dan iboratdir. Lekin o‘rinli. Bu ning bog‘lamli ekanligiga ziddir.
Bog‘lamli to‘plamlar uchun quyidagilarni isbotlash qiyin emas.