1-varyant super kengaytma funktori

5-javob(izoh: “tao” bilan “taoshtrix” o’rniga “tao1”va “tao2” ishlatiladi)
topologik fazo ta’rifidan, keltirilgan misollardan ko‘rinadiki, bir elementdan ortiq bo‘lgan ixtiyoriy to‘plamda turlicha topologik strukturalarni aniqlash mumkin ekan.
1.4.1-ta’rif. to‘plamda va topologiyalar aniqlangan bo‘lsin. Agar ning ixtiyoriy elementi uchun ekanligidan ekanligi kelib chiqsa, topologiya topologiyadan kuchsizroq (ojizroq) deyiladi. Bu holda topologiya topologiyadan kuchliroq (ozg‘in, maydaroq) deyiladi.²
Yuqoridagi ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, bo‘sh bo‘lmagan to‘plamdagi ixtiyoriy topologiya uchun munosabat o‘rinlidir.
4-javob(izoh: M o’rniga A ishlatiladi)
.6.11-ta’rif. topologik fazoning nuqtasi uchun nuqtaning shunday ochiq atrofi topilsaki va bu atrof to‘la to‘plamda yotsa, u fazoning to‘plamostisining ichki nuqtasi deyiladi, ya’ni bo‘lsa, to‘plamning barcha ichki nuqtalari tashkil topgan to‘plam ning ichi deyiladi va ko‘rinishida belgilanadi. Ta’rifdan va oldingi keltirilgan faktlardan ko‘rinadiki, to‘plam ochiq to‘plam bo‘lishi uchun tenglik yoki u o‘zining ichiga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Yana shuni aytish mumkinki, to‘plamning ichi ochiq to‘plam va – bu da yotgan ochiq to‘plamlarning birlashmasidan iboratdir. To‘plamning ichi int quyidagi xossalarga ega:
1) agar bo‘lsa; (monotonligi);
2) (idemponent);
3) .
10-VARYANT
1. Topologik gruppalarning kardinal invariantlari
Bizga birorta bo’sh bo’lmagan to’plam berilgan bo’lsin. Shu to’plamning barcha to’plamostilaridan tashkil topgan oilani (to’plamni) bilan belgilaymiz.
Ixtiyoriy “tabiatli” bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va sistema (shu to‘plamning to‘plamostilardan tashkil topgan) berilgan bo‘lsin.
ta’rif. Agar sistema (to‘plamostilar oilasi) quyidagi:
1) ;
2) sistemaning ixtiyoriy sondagi elementlarining birlashmasi ga tegishli bo‘lsa, ya’ni uchun

3) sistemaning ixtiyoriy chekli “sondagi” elementlari kesishmasi ga tegishli bo‘lsa, ya’ni , shartlarni qanoatlantirsa, sistema to‘plamdagi topologiya, juftlik esa, birgalikda topologik fazo deyiladi. topologik fazo tashkil qilsa, sistemaning elementlari ochiq to‘plamlar deb ataladi yoki e’lon qilinadi. Bu ta’rifdagi 1)–3)-shartlar topologiyaning yoki topologik fazoning aksiomalari deb yuritiladi. Ta’rifdan ma’lumki, to‘plam qanday bo‘lishidan qat’i nazar, topologik fazodagi ochiq to‘plamlar turlicha bo‘lishi mumkin ekan. Ko‘p hollarda, agar topologik fazo bo‘lsa, sistema topologik struktura, to‘plam esa, topologik fazoning yoki topologiyaning ifodalovchisi – eltuvchisi deb ataladi.