10-ma’ruza Ajoyib limitlar. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi. Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularni klassifikatsiyalash. Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi

Misollar: I. Berilgan limitlarni hisoblang.

Yechish. Birinchi ajoyib limitni ishlatamiz:

II. Limitlarni toping.
Yechish.
1)

2. Funksiyaning uzluksizligi
Aytaylik, funksiya X to‘plamda berilgan, va a nuqtaning ihtiyoriy atrofida X to‘plamning a dan farqli nuqtalari bo‘lsin.
Faraz qilaylik, nuqta ham X to‘plamga tegishli bo‘lsin. Odatda, ni argument orttirmasi deyiladi. Ushbu ayirma funksiyaning a nuqtadagi orttirmasi deyilib,uni yoki kabi belgilanadi:

Ta’rif . Agar

bo‘lsa, funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.



Funksiya uzluksizligi quyidagicha ham ta’riflansa bo‘ladi.¹

Ta’rif. Agar har qanday son olinganda ham shunday son topilsaki, argument x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.



Ushbu ta’rif bo‘yicha x a ga yaqinlashganda funksiya ga yaqinlashadi. Demak, uzluksiz funksiyalar kuyidagi xossaga ega: x argument kichik o‘zgarsa, u holda funksiya ham kichik o‘zgaradi.
Agar f funksiya a nuqta atrofida aniqlangan bo‘lsa (boshqacha aytganda, f funksiya a nuqtaning ushbu nuqtaning o‘z ichiga olgan ochiq intervalda aniqlangan, undan tasqari funksiya a nuqtada aniqlanmagan bo‘lishi mumkin), f funksiya a nuqtada o‘zilishga ega deb ataladi.

Ta’rif. Agar funksiya X to‘plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, funksiya X to‘plamda uzluksiz deyiladi.
Ma’lumki,  funksiya a nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun:
1) uniug shu a nuqta atrofida aniqlangan bo‘lishi,
2) a nuqtada o‘ng va chap limitlarga ega bo‘lib,

bo‘lishi lozim.
Agar funksiya a nuqtada 1) va 2) shartlarda hech bo‘maganda birini bajarmasa, u holda funksiya a nuqtada uzilishga ega deyiladi.
Misollar. 1. Ushbu funksiya nuqtada uzilishga ega, chunki bu nuqtada birinchi shart bajarilmaydi.
2. Ushbu

funksiya nuqtada uzilishga ega bo‘ladi, chunki

bo‘lib, ikkinchi shart bajarilmaydi.