10-ma’ruza Ajoyib limitlar. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi. Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularni klassifikatsiyalash. Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi

3. funksiyani x=1 nuqtada uzluksizlukka tekshiring. Uzluksizlikka ega bo‘lgan holda x=1 nuqtadagi xarakterini aniqlang.
Yechish. funksiya x=1 nuqtada aniqlanmagan. Demak bu nuqtada uzilishga ega. Funksiya limitini hisoblaymiz:
,
ya’ni chekli limit mavjud, demak bartaraf qilinadigan 1-tur uzilish nuqtasi. Funksiyani nuqtada aniqlanishini to‘ldirib, ya’ni deb faraz qilib,

funksiyani hosil qilamiz. Bu funksiya nuqtada uzluksiz.
4. funksiyani uzluksizligini tekshiring.
Yechish.
Bundan ko‘rinadiki,

nuqtada funksiya aniqlanmagan bolib,

munosabat o‘rinli. Demak, nuqta f(x) funksiya uchun ikkinchi tur uzilish nuqtasi, hamda nuqtada funksiya aniqlanmagan bolib,

munosabat o‘rinli.
Demak, nuqta f(x) funksiya uchun ikkinchi tur uzilish nuqtasi.
5. Berilgan funksiyani uzilish nuqtalarini toping. Ularning grafigini chizing


nuqtada funksiya birinchi tur uzilishga ega.
6. funksiya [–1,1] intervalda uzluksizligini isbotlang.
Yechish. Agar bo‘lsa, u holda
.
Demak, ta’rifga asosan uchun funksiya uzluksiz. Undan tashqari,
va ,
demak, funksiya –1 da chapan va 1 da o‘ngdan uzluksiz. Shuning uchun funksiya [–1,1] segmantda ta’rif bo‘yicha uzluksiz bo‘ladi.
Berilgan funksiyaning grafigi quyidagicha:



Keltirilgan chizmalarda uzluksiz funksiya – (a) va uzilishga ega funksiyalar –(b), (c) va (d) tasvirlangan.
3. Uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar. Murakkab funksiyaning uzluksizligi
Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda
, , va
funksiyalar ham a nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda, funksiya esa to‘plamda aniqlagan bo‘lib, ular yordamida murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin.
Agar funksiya nuqtada, funksiya mos a  nuqtada uzluksiz bo‘lsa, y holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.