10-ma’ruza Ajoyib limitlar. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi. Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularni klassifikatsiyalash. Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi

4. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari
Uzluksiz funksiyalar qator xossalarga ega. Ular teoremalar orqali ifodalanadi.

1-teorema (Boltsano-Koshi teoremasi). Agar  funksiya  segmentda uzluksiz bo‘lib, uning a va b nuqtalardagi qiymatlari va qarama-qarshi ishorali bo‘lsa u holda shunday c nuqta topiladiki, bo‘ladi.
Bu teoremadan teglamalarning yechimi mavjudligi aniqlash va ularning taqribiy yechimini topishda foydalanish mumkin.
2-teorema. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo‘ladi.
3-teorema. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu segmentda o‘z qiymatininganiq yuqori (quyi) chegarasiga erishadi, ya’ni da shunday va nuqtalar topiladiki, da , bo‘ladi.

5. Funksiya uzluksizligi
Harakat qilayotgan jism yo‘lning qandaydir bir nuqtasida yo‘q bo‘lib qolib, yana yo‘lning qayeridadir paydo bo‘lib o‘z harakatini davom ettirishi mumkin emas. Shunday qilib biz, yo‘lni uzilishga ega bo‘lmagan chiziq, ya’ni, bo‘shliqlarsiz, hech bir chuqurlarsiz uzluksiz deb qabul qilamiz.
Ushbu bo‘limda, «silliq chiziq» tushunchasining aniq matematik ta’rifini beramiz va uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalarini beramiz.¹
ko‘phad va c – haqiqiy son uchun bo‘lishini eslatib o‘tamiz (1 chizmaga qarang).
3-teoremadan foydalanib, funksiyalarning turli kombinatsiyalari uchun limitlarni hisoblashimiz mumkin. Ya’ni, funksiyalarning shunday misollarini ko‘rinadiki, , shart, aniqlangan va c nuqtani o‘z ichiga oluvchi har bir intervalda bajariladi. Bu holda funksiiyaning qiymati, c ga etarlicha yaqin x lar tanlanganda ga juda yaqin bo‘lishi kafolatlanadi.