2-ma’ruza. Ko’p omilli ekonometrik tahlil

2. Chiziqli va chiziqsiz ko’p omilli regression bog’lanishlar.
Regression tahlil o’tkazilganda avvalo bog’lanish turi aniqlanadi va tanlangan funktsiyaning parametrlari hisoblanadi:
Funktsiya turi:
1) Chiziqli

2) turli darajali polinomlar

3) Giperbola




y=c/x

4) Darajali funktsiya




Regression taxlil asosida tanlangan omillar asosida bog’lanish turi aniqlanadi. Natijaviy ko’rsatkich y va unga ta’sir etuvchi omillar guruxi , , , … bog’lanish turini umumiy ko’rinishini quyidagi funktsiya yordamida ifodalash mumkin:

Analitik ifodalarining ko’rinishiga qarab bog’lanishlar to’g’ri chiziqli (yoki umuman chiziqli) va egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bo’ladi. Agar bog’lanishning tenglamasida omil belgilar ( , , , … ) faqat birinchi daraja bilan ishtirok etib, ularning yuqori darajalari va aralash ko’paytmalari qatnashmasa, ya’ni ko’rinishda bo’lsa, chiziqli bog’lanish yoki to’g’ri chiziqli bog’lanish deyiladi.
Ifodasi to’g’ri chiziqli (yoki chiziqli) tenglama bo’lmagan bog’lanish egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bog’lanish deb ataladi. Xususan,
turli darajali polinomlar

giperbola

darajali

va boshqa ko’rinishlarda ifodalanadigan bog’lanishlar egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bog’lanishga misol bo’la oladi.


3. Umumlashtirilgan va bavosita “eng kichik kvadratlar usuli”
Regressiya tenglamasining koeffitsientlarini eng kichik kvadratlar usuli asosida hisoblash mumkun. Mezon: haqiqiy miqdorlarning tekislangan miqdorlardan farqining kvadratlari yig’indisi eng kam bo’lishi zarur:

Ko’p omilli chiziqli regressiya tenglamasining umumiy ko’rinishi quyidagicha:

Bu erda regressiya koeffitsientlaridir. Eng kichik kvadratlar usuliga ko'ra, natijaviy belgining haqiqiy qiymatlarining hisoblangan qiymatidan farqi kvadratlari yig'indisini minimallashtiradigan koeffitsientlarining qiymatlarini topish talab qilinadi.

Ushbu qiymat eng kam bo’lishi ushun birinchi darajali hosilalari nolga teng bo’lishi kerak:


Uning echimi quyidagicha amalga oshirilishi mumkin:
, , …,
Bu erda - tenglama tizimi aniqlovchisi, – hususiy aniqlovchilar.
Bunda

tizimning aniqlovchilari esa matritsasining tegishli ustunini tizimning chap tomonidagi ma'lumotlar bilan almashtirish orqali olinadi.
Ikki omilli model uchun ushbu tenglamalar tizimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:




Iqtisodiy qatorlar dinamikasi tendentsiyasini aniqlash vaqtida ko’pshilik hollarda turli darajadagi polinomlar:

(bunda va ) va eksponentsional funktsiyalar qo’llaniladi:

(bunda va )
Shuni qayd etib o’tish lozimki, funktsiya shakli tenglashtirilayotgan qatorlar dinamikasi xarakteriga muvofiq, shuningdek, mantiqiy asoslangan bo’lishi lozim.
Polinomning eng yuqori darajalaridan foydalanish ko’pshilik hollarda o’rtasha kvadrat xatolarining kamayishiga olib keladi. Lekin bunday vaqtlarda tenglashtirish bajarilmay qoladi.
Tenglashtirish parametrlari bevosita eng kishik kvadratlar usuli yordamida baholanadi. Eksponensional funktsiya parametrlarini baholash ushun esa boshlang’ish qatorlar qiymatini logarifmlamoq lozim.
Normal tenglamalar tizimi quyidagisha bo’ladi:

1. 
   k tartibli polinom uchun:
   

2. 
   eksponentsional funktsiya uchun:
   

Agar tendentsiya ko’rsatkishli funktsiyaga ega bo’lsa, ushbu funktsiyani logarifmlab, parametrlarini eng kishik kvadratlar usuli yordamida aniqlash mumkin.
Omillarning natijaga birgalikdagi ta’siri zichligini ko’p omilli korrelyatsiya koeffitsienti bilan baholanadi:

Tuzilgan modelning sifatini determinatsiya koeffitsienti baholaydi. Ko’p omilli determinatsiya koeffitsienti ko’p omilli korrelyatsiya koeffitsienti kvadrati sifatida hisoblanadi.

qiymati natijaviy belgining o'zgarishi necha foiz regressiya tenglamasiga kiritilgan omil belgining o'zgarishi bilan izohlanganligini ko'rsatadi.
Tahrirlangan ko’p omilli determinatsiya indeksi quyidagicha:

Ikki omilli chiziqli bog’lanishlarda quyidagi to’plam korrelyatsiyasi koeffitsienti formulasidan foydalanish mumkin:

Ko'p omilli regressiya tenglamasini tuzishda omillarning multikolinearligi va ularning zich chiziqli bog'liqligi muammosi paydo bo'lishi mumkin. Agar regressiya tenglamasiga kiritilgan omil belgilar o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti bo'lsa, u holda omillar multikolleniar hisoblanadi. Agar omillarni tanlash bosqichida multikolleniarlik aniqlansa, u holda y bilan kam korrelyatsiyalangan omilni olib tashlash kerak va y bilan korrelyatsiyalangan va allaqachon kiritilgan omil bilan bog'liq bo'lmagan omilni kiritish kerak.