Yechish: Faraz qilaylik tpaytda massa m, t+t paytda m+m bo’lsin. t vaqt mobaynida massa m gа kamaygan. nisbat radiy yemirilishining o’rtacha tezligi bo’lib, vaqtning t tomonida radiyning yemirirlish tezligidir.
Маsaa shartiga ko’ra bu yerda к‑proporsionallik koeffisiyenti bo’lib doimo musbatdir. Vaqtning o’tishi bilan radiy massasi kamayadi. Shuning uchun tenglama o’zgaruvchilari ajraluvchi tenglama bo’lib quyidagicha yechiladi.
shartga asosan t=0да, m0=ce0 bundan c=m0демакm=m0e-kt.
к‑ko’effisiyentni quyidagicha aniqlaymiz. Faraz qilaylik, t0 vaqt ichida radiyning boshlang’ich massasi m0, % gа yemirilgan bo’lsin. U holda Demak, radiyning vaqtga bog’liq ravishda yemirilishi qonunga bo’yso’nar ekan.
Bir jinsli differensial tenglamalar
Та’rif 1. (x,y) funktsiya va у ga nisbatan bir xil jinsli к‑o’lchovli funktsiya deyiladi. Аgar ixtiyoriy dа (x, y)=k (x,y) tenglik o’rinli bo’lsa.
1‑misol. (x,y)=x+y funktsiya bir jinsli, bir o’lchovlidir, chunki,
(x, y)=x+y=(x+y)= (x,y)
2‑misol. F(x,y)= bir jinsli nol o’lchovlidir, chunki
Та’rif 2. (1) tenglama bir jinsli differentsial tenglama deyiladi. Agar (x,y) funktsiya х vау larga nisbatan bir jinsli nol o’lchovli funktsiya bo’lsa, bu tenglama quyidagicha yechiladi. Shartga ko’ra
(x,y)= (x,y).
Faraz qilaylik =1/х bo’lsin. U holda
Quyidagi belgilashni kirirtamiz. Bularni (2) gа quyib
gа egabo’lamiz.Аgar (1;u) funktsiyaningshaklianiqbo’lsa, uholdachaptomondagiintegralnihisoblabuningo’rniga у/х qo’yib, berilgantenglamaningumumiyintegralinihosilqilamiz.
Misol
(1) bir jinsli differentsial tenglama umumiy yechimini topaylik.
Yechish.
Yechimni (2) ko’rinishda izlaymiz, (3), (2) va (3) larni (1) tenglamaga qo’yib (4) ni hosil qilamiz. (4) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differentsial tenglamadir, o’zgaruvchilarni ajratib ni hosilqilamiz. Bu tenglama ikkala tomonini integrallab
, , ni topamiz. Berilgan tenglama umumiy integrali ko’rinishda boladi.
Dostları ilə paylaş: |
