3-Mavzu. Differentsial tenglamalarga keltiruvchi masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. Koshi masalasi. Tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar

Tayanch iboralar: Birinchi tartibli differentsial tenglamalarga keltiriladigan ba’zi ikkinchi tartibli tenglamalar

Birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamalar

Та’rif. Birinchi tartibli chiziqli tenglama deb noma’lum funktsiyaga vа uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan tenglamaga aytiladi. U

tenglama ko’rinishda bo’ladi, bunda Р(х) vа Q(x) lar х‑ning berilgan uzluksiz funktsiyalari (yoki o’zgarmas sonlar).
Chiziqli tenglamani yechish

1. 
   tenglamaning yechimini х‑ning ikkita funktsiya ko’paytmasi shaklida izlaymiz
   

y=u(x)v(x) (2)
Bu funktsiyalardan birini ixtiyoriy olish mumkin, ikkinchisi esa (1) tenglamaga asosan aniqlanadi. (2) tenglikning ikkala tomonini differentsiallaymiz.

hosilaning topilgan ifodasini (1) tenglamaga qo’yamiz.
(3)
funktsiyani
tenglama o’rinli bo’ladigan qilib tanlaymiz. Bu differentsial tenglamada o’zgaruvchilarni v₁ gа nisbatan аjratamiz; (4) tenglamaning noldan farqli biror yechimi topish yetarli bo’lgani uchun V(x) funktsiya deb
v(x)=e^-pdx (5)
ni olishimiz mumkin. v(x)0 bo’lishi o’z o’zidan ravshan.
v(x) ning topilgan qiymatini (3) tenglamaga qo’yib ekanini e’tiborga olib, v(x) yoki tenglamani hosil qilamiz, bundan y= ekani kelib chiqadi. V vаU ning bu qiymatini (2)formulaga qo’ysak natijada y=v(x) yoki y=v(x) (6) hosil bo’ladi.
Misol

yechimni ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda bo’lib,
formulalar yordamida hisoblanadi.
va
bu berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi.
Differentsial tenglama yechimining mavjudligi vа yagonaligi haqidagi teorema (isbotsiz). O’zgaruvchilari ajralgan vа аjraladigan differentsial tenglamalar