3-Mavzu. Differentsial tenglamalarga keltiruvchi masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. Koshi masalasi. Tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar

Bernulli tenglamasi
Ushbu
(1)
ko’rinishdagi tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi. Bu yerda n0, n1 (аks holda chiziqli tenglama hosil bo’ladi). Тenglamaning barcha hadlarini уⁿ gа bo’lamiz.
(2)
Endi z=y^-n+1аlmashtirishni bajaramiz. U holda

bu ifodalarni (2) tenglamaga qo’ysak, chiziqli tenglama hosil bo’ladi:

Bu tenglama umumiy inregralini topib, hamda z o’rniga уⁿ ifodani qo’yib, Bernulli tenglamasining umumiy integralini topamiz.
Misol tenglama umumiy echimini toping.
Yechish: Bu tenglama 1-tartibli chiziqli tenglamadir, unda bizga tenglama umumiy yechimning ko’rinishi
ekanligi ma’lum. Bizning misolda

bo’ladi.
Маvzu bo’yicha takrorlash savollari
1. Bernulli tenglamasida n=0 bo’lgan holda qanday tenglama hosil bo’ladi?
2. n=1 bo`lgandachi?
Yuqori tartibli differensial tenglamalar
y⁽ⁿ⁾= (x) ko’rinishdagi tenglama
Eng sodda n‑tartibli tenglama y⁽ⁿ⁾=f(x) (1) ko’rinishidagi tenglama bo’ladi. y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¹ ekanini e’tiborga olsak ni hosil qilamiz.
Integrallashni shunday davom ettirib quyidagilarni hoail qilamiz



(1) tenglamaning umumiy yechimini topidik y/_x=x0=y₀, y'/_x=x0=y'₀ ,...,
y^(n-1)/_x=x0=y₀^(n-1) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish uchun C_n=y₀, C_n-1=y₀,..., C_o=y₀^(n-1) deb olish yetarlidir.
Misol. tenglama umumiy echimini topaylik
, , ,
,
1. Ushbu (1)
ko’rinishdagi tenglama noma’lum у funktsiyani oshkor holda o’z ichiga olmaydi belgilashlar kiritamiz. ko’yamiz
Bu ifodalarni (1) tenglamaga. U holda х ning noma’lum Р(х) funktsiyaga nisbatan birinchi tartibli
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, uning p=p(х,c₁) umumiy yechimini topamiz, undan keyin munosabatdan (1) tenglamaning
y= ₁)dx+c₂ umumiy integralini topamiz.
Misol
Zanjirli chiziq tenglamasini ni qaraaylik.
Yechish. deb olib, ni topamiz va biz p ga nisbatan birinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratsak tenglamaga kelamiz, bu tenglamani integrallab ni hosil qilamiz, bundan ekanligini topamiz. Buni yana bir marta integrallab berilgan tenglama umumiy echimini topamiz. Boshlang’ich shartlardan foydalanib , tenglama xususiy yechimi ni nopamiz.
Izoh: Yuqoridagi usul bilan tenglamani ham ham yechish mumkin. deb olib ni hosil qilamiz. Oxirgi tenglamadan p ni xning funktsiyasi sifatida aniqlab tenglikdan y yechimni topamiz.

1. 
   х erkli o’zgaruvchini oshkor holda o’z ichiga olmagan (2)
   

ko’rinishdagi tenglama. ni (2) –tenglamaga qo’ysak
tenglamani hosil qilamiz.
Buni integrallab p ni у vа ixtiyoriy с₁ o’zgarmas miqdorning funktsiyasi kabi aniqlaylik р=р(у, с₁)
Bu qiymatni munosabatga qo’ysak, х ning у funktsiyasi uchun birinchi tartibli _,c₁) differentsial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning umumiy integralini topamiz.
Misol
tenglama umumiy integralini topaylik.
Yechish.
dap ni y ni funktsiyasi deb hisoblab, ni hosil qilamiz. Buni berilgan tenglamaga qo’ysak ga ega bo’lamiz. Oxirgi tenglamani integrallab ni hosil qilamiz. Bundan ga ega bo’lamiz., bunda deb olib ni yoki olamiz, bu erdan . Oxirgi integralni hisoblash uchun almashtirish qilamiz. U holda , bo’ladi. Buni integrallab ga yoki
tenglama umumiy integralini topamiz.
3. O’zgarmas koeffisentli yuqori tartibli bir jinsli tenglamalar. O’zgarmas koeffisentli yuqori tartibli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama, o’ng tomoni maxsus ko’rinishga ega bo’lgan differensial tenglamalar. Differensial tenglamalarning normal sistemasi. Differensial tenglamalrni muxandislik masalalarga tadbiqlari
Reja:

1. 
   Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar
   
2. 
   O’zgarmas koeffitsiyentli yuqori tartibli bir jinsli tenglamalar
   
3. 
   O`zgarmas koeffisiyentli yuqori tartibli bir jinsli differnsial tenglama
   
4. 
   O`zgarmas koeffisiyentli yuqori tartibli bir jinsli bo`lmagan, o`ng tomoni maxsus ko`rinishga ega bo`lgan differensial tenglamalar