3-Mavzu. Differentsial tenglamalarga keltiruvchi masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. Koshi masalasi. Tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar

C₁ vаС₂ funktsiyalarni

С₁'y₁+C₂'y₂=0 (4)
Tenglik bajariladigan qilib tanlab olamiz. u holda y'=C₁y₁'+C₂y₂' (5) ko’rinishda bo’ladi.
Bundan y''=C₁y₁''+C₂y₂''+C₁'y₁'+C₂'y₂'. y,y'ваy'' larni (1) tenglamaga qo’yib –С₁y₁''+C₂y₂'+C₁'y₁'+C₂'y₂'+a₁(C₁y₁'+C₂y₂')+a₂(C₁y₁+C₂y₂)= (x)
yoki
С₁(y₁''+а₁y₁'+a₂y₁)+C₂(y₂''+a₁y₂'+a₂y₂)+C₁'y₁'+C₂'y₂'= (x) tenglikni hosil qilamiz
Birinchi ikkita qavs ichida turgagilar nolga aylanadi, chunki у₁ vау₂ (2) tenglamaning yechimlari. Demak,
C₁'y₁'+C₂'y₂'= (x) (6)
Shunday qilib, С₁ vваС₂ funktsiyalar (4) vа (6) shartlarni qanoatlantirsa, (3), (1) ning umumiy yechimi bo’ladi
(7)
c₁'=₁(x), c₂'=₂(x), larni (7) gа quyib topamiz vа c₁=₁(x)dx+ , c₂=₂(x)dx+ bu yerda vа integrallash o’zgarmasdirlar.
2‑teoremay'+a₁у'+a₂y= ₁(x)+ ₂(x) (8) tenglamaning у* yechimini (bunda o’ng tomon ikkita ₁(x) vа ₂(x) funktsiyalarning yig’indisidan iborat) у*=у₁*+у₂* yig’indi shaklida tasvirlash mumkin, bunda у₁* vау₂* mos ravishda
(9)
(10)
tenglamalarning yechimlari.
Isbot. (9) vа (10) tenglamalarning o’ng va chap tomonlarini qo’shib ushbuni hosil qilamiz (y₁*+y₂*)'’+a₁(y₁*+y₂*)'+a₂(y₁*+y₂*)= ₁(x)+ ₂(x) keyingi tenglikdan, ushbu у₁*+у₂*=у*(8) tenglamaning yechimi bo’lar ekan.
O’zgarmas koeffitsiyentli bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamalar
Ushbu
y''+py'+qy= (x) (1)
tenglama berilgan bo’lsin bunda p vаq haqiqiy sonlar
I. (x)=P_n(x)e^x (2)
ko’rsatgichli funktsiya bilan ko’phad ko’paytmasidan iborat. Bunda P_n(x) -n darajali ko’phad.
а)  soni
k²­­­+pk+q=0 (3)
xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmagan hol.
U holda xususiy yechimi y*=Q_u(x)e^x (4)
Ko’rinishda izlash kerak. у* ni (1) gа qo’yamiz, bu yerda Q_u(x)=A₀x^u+A₁x^u+1 +...+A_n, A₁,A₂ ,A₃ ,...,A_n lar noma’lum koeffitsiyentlar
Q_n(x)+(2  +p) Q_n`(x)+(<sup>2</sup>+p+q) Q<sub>n</sub>(x)=P<sub>n</sub>(x) (5)
Tenglikning chap vа o’ng qismidagi bir xil darajali х lar oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib, noma’lum А<sub>1</sub>,А<sub>2</sub>, ....,Аn larga nisbatan (n+1) tenglamali, tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
б) soni (3) ning oddiy (bir karrali) ildizi bo’lgan hol, bunda (5) dа<sup>2</sup>+p+q=0 vа chap tomonda n‑1 darajali, o’ng tomonda n darajali ko’phadlar hosil bo’ladi. Shuning uchun y*=xQ<sub>n</sub>(x)e<sup>x</sup> bo’ladi.
в)  son (3) ning ikki karrali ildizi bo’lgan xol. Bu yerda (5) dа<sup>2</sup>+p+q=0; 2+p=0 ; Q<sub>n</sub>`(x)=P_n(x); хosil bo’ladi.
Shuning uchun y*=x²Q_n(x)e^x ko’rinishda olinishi kerak.
II. f(x)=P(x) e^xcos x+Q(x) e^xsin x bunda P(x) vаQ(x)-ko’phadlar.
а) agar +i son (3)ning ildizi bo’lmasa,
y*=u(x) e^xcos x+v(x) e^xsin x (6)
ko’rinishda izlash kerak. u(x) vа v(x) lar darajasi Р(х) vа Q(х) ko’phadlarning eng yuqori darajasiga teng bo’lgan ko’phadlardir. б) аagar +i (3) ning ildiz bo’lgan xol. U holda y*=x[u(x) e^xcos x+v(x) e^xsin x] bo’ladi.
III. f(x)=Mcosx+Nsinx , M vа N lar o’zgarmas sonlar.
а) аgar i (3)ning yechimi bo’lmasa y*=Acos x+Bsin x bo’ladi.
б) аgar i soni (3) ildizi bo’lsa, у*=х(Аcos?x+Bsin?x) bo’ladi.
y*=x(Acos x+Bsin x) bo’ladi.
Misol. tenglama umumiy echimini topaylik
Yechish:
Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglama xarakteristik tenglamasini tuzaylik , ushbu tenglama yechimlari ga teng. tenglamanung umumiy yechimi bo’ladi. Berilgan tenglama xususiy yechimini , ko’rinishda izlaymiz, u holda ,
bo’ladi. Bularni tenglamaga qo’ysak ni hosil qilamiz, bundan esa ni topamiz. Demak, berilgan tenglama umumiy yechimi ko’rinishda bolar ekan.
O`zgarmas koeffisiyentli yuqori tartibli bir jinsli bo`lmagan, o`ng tomoni maxsus ko`rinishga ega bo`lgan differensial tenglamalar
Ushbu (1) tenglama berilgan bo’lsin, bunda p va q - haqiqiy sonlar. Bunday tenglamalarni yechish uchun avvalo bir jinsli qismini yechimi topiladi, so’ngra o’ng tomonini ko’rinishiga ko`ra xususiy yechim topiladi. Umumiy yechim esa bir jinsli qismini - yechimi va - xususiy yechimini yig’indisi shaklida yozamiz: ;
Bir jinsli qismini yechishni yuqorida ko’rdik. Endi o’ng tomonini ko’rinishi quyidagi hollardan iborat bo’lganda xususiy yechimni topishni ko’rib chiqamiz.
1 – hol (8.1) tenglamaning o’ng tomoni ko’rsatkichli funksiya bilan ko`phad ko`paytmasidan iborat, ya’ni
(2)
ko’rinishda bo’lsin, bunda - n – darajali ko’phad. U vaqtda quyidagi xususiy hollar bo’lishi mumkin:
a) soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmagan hol.
Bu holda xususiy yechimni
(3)
ko’rinishda izlash kerak. Haqiqatan, ni tenglamaga qo’yib va barcha hadlarni ko’paytuvchiga qisqartirib,

tenglikka ega bo’lamiz, bunda - darajali ko’phad, (n-1) – darajali ko’phad, esa (n-2) – darajali ko’phad. Shunday qilib, tenglik ishorasining o’ng va chap tomonlarida n – darajali ko’phadlar turibdi. Bir xil darajali x lar oldidagi koeffitsientlarini bir – biriga tenglab, noma’lum A_o, A₁ ,….A_n koeffitsientlarni topish uchun tenglamalarningsoni (n+1) ta bo’lgan sistema hosil qilamiz.