3-Mavzu. Differentsial tenglamalarga keltiruvchi masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. Koshi masalasi. Tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar

Differetsial tenglamalar yordamida ba’zi bir matemati, fizik, biologik va kimyoviy masalalarni yechish
Differetsial tenglamalar tuzish va ularni echa olish tabiatda va hayotda uchraydigan ko’pgina hodisalarni o’rganishda, masalan fizika va texnika, kimyo va biologiya, elektrotexnika hamda boshqa fanlardagi ba’zi masalalarni hal qilishda yordam beradi. Kuzatilayotgan xodisani tasvirlaydigan kattaliklar orasidagi bog’lanishlarni bevosita aniqlash juda muhimdir. Lekin ko’pgina hollarda kattaliklar (funktsiyalar) va ularning o’zgarish tezliklarini boshqa o’zgaruvchi miqdordagi (erkli o’zgaruvchilarga) nisbatan aniqlash mumkin, ya’ni noma’lum funktsiya hamda uning hosilasiga bog’liq bo’lgan tenglamalarni tuzish mumkin.
tenglama, birinchi tartibli differentsial tenglamaga misol bo’lib, bunda berilgan funktsiya, esa topilishi kerak bo’lgan funktsiyadir. Bu tenglamaning yechimlari -funktsiyaning barcha boshlang’ichlaridan iboratdir.
Masalan: tenglamaning yechimlari funktsiyalar bo’lib, berilgan tenglama boshqa yechimlarga ega emas, bu yerda C-ixtiyoriy o’zgarmasdir.
Differentsial tenglamalarning o’ziga xos tomonlaridan biri ularning cheksiz ko’p yechimlarga egaligidir. Yuqorida keltirilgan misol buni yaqqol ko’rsatadi: biror holatni ifodalaydigan differentsial tenglamani yechib, o’sha holatni ifodalaydigan barcha kattaliklar orasidagi bog’liqlikni topish mumkin emas. Topilgan cheksiz ko’p yechimlar orasidan, shu berilgan holatni ifodalaydiganini topish uchun biz qo’shimcha ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak, ya’ni shu jarayonning boshlang’ich holatini bilishimiz kerak.
Masalan, mashina v₀ o’zgarmas tezlik bilan A shahar tomon tekis yo’ldan ilgarilamoqda, qancha vaqtdan so’n g u A shaharda bo’ladi? Mashinaning t vaqt ichidagi bosib o`tgan yo`lini S=S(t) deb belgilasak uning harakat qonunini y`ni ds= v0 tenglamani topamiz.qo`yilgan masalaga javob topish uchun esa dt harakat boshlanishidan oldin mashina shaharga nisbatan qancha masofada bo`lganini bilishimiz kerak.
Endi differensial tenglamaga olib keladigan ba`zi bir masalalarni ko`rib chiqaylik.
2. Differentsial tenglamalarga keltiriladigan ba’zi masalalar va ularning na’munaviy yechimlari
1-Masala.
miqdordagi bakteriya ko`payish uchun qulay sharoitda joylashtirilgan. Bakteriyaning ko`payish tezligi, uning uning miqdoriga to`gri proporsional.Vaqt o`tishi bilan bakteriya soni o`sishini toping.
Yechish.
t- vaqtdagi bakteriyalar sonini N(t) deb belgilasak.Boshlang`ich vaqtdagi miqdor esa N(0)= bo`lsin.Bakteriyalar soni, butun sonlar bilan hisoblansada, biz N(t) ni differensiallanuvchi funksiya deb faraz qilamiz.Bakteriyalarning ko`payish tezligi N(t) funksiyadan olingan hosila bo`lib, biologik tajribadan kelib chiqqan holda :
(1)
tenglamani tuzamiz .K- proporsionallik koefitenti bo`lib, u bakteriya turiga va joylashgan muhitga bog`liq. U tajriba yordamida aniqlanadi.demak qo`yilgan biologik masala (1) tenglamaning N(0)=N(0) boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi echimini topishdek sof matematik masalaga keltirildi.
t- vaqtdagi bakteriyalar soni N(t) bo`lgani uchun N(t)>o bo`ladi.(1) tenglamani
ko`rinishiga keltirib integrallaymiz:
,
Bundan esa N(t)=C^kt ekanini topamiz.
Endi boshlangich shartdan foydalanib C o`zgarmasni topamiz:
N(0) = Ce<sup>ko</sup>, N(0)=N<sub>0</sub>=C va N(t)= Demak, bakteriyalar soni ko`rsatkichli eksponetsial qonunga asosan o`sar (ko`payar )ekan.
2-Masala.
m massaga ega moddiy nuqta og`irlik kuchi ta`sirida pastga qarab erkin harakatlanayapti. Havoni qarshiligini hisobga olmasdan, unig harakat qonunini toping.
Yechish.
Moddiy nuqta vertical o`q bo`ylab pastga harakatlanayotgan bo`lsin.Shu o`qda boshlangich o nuqta va bu nuqtadan pastga qarab musbat yo`nalishni belgilaymiz.
t- vaqtga qarab moddiy nuqta holati y(t) funksiya bilan aniqlansin. Moddiy nuqta
og`irlik kuchi ta`sirida harakatlanadi, shu sababli N`yutonning ikkinchi qonuniga ko`ra
yoki va (2)
tenglamaga ega bo`lamiz . (2) tenglamani ikki karra integrallaymiz:
va nihoyat (3)
tenglamaga ega bo`lamiz. (3) tenglama ikkita C<sub>2</sub> va C<sub>1</sub> o`zgarmaslarga bog`liq va moddiy nuqtaning harakat qonuni ifodalaydi.Moddiy nuqtaning o nuqtaga nisbatan boshlangich holati y(0)= 0 ni va boshlang`ich tezligi v(0) =v₀ ni bilgan holda (3) funksiyalar majmuasidan, moddiy nuqta harakatini ifodalovchisini topamiz:
Buning uchun:
(4)
sistemadan t=0 da v(t) =dy/dt ekanini hisobga olib V₀=C₁ va y(0)=C₂ larni topamiz. Tenglamalarni dt (3) ga qo`yib moddiy nuqtaning harakat qonuni bo`lmish funksiyani topamiz.
3 -Masala.
Projektor haqidagi masala

Bir nuqtadan chiquvchi, berilgan yo’nalishga parallel, barcha nurlarni aks ettiruvchi oynaning shaklini toping.

Yechish. Oynaning tekis kesimini qaraymiz. Nur chiqish joyini koordinata boshida joylashtirib, Oy o’qini shartda ko’rsatilgan yo’nalish bo’yicha yo’llaymiz. xOy tekisligi bilan kesilgan oynaning egri chizig’i bo’yicha M(x,y) nuqtada urunma o’tkazamiz. OM nurni ko’rib o’tamiz. Optika qonuni bo’yicha tushish burchagi aks etilgan burchak bilfn teng (bu burchaklar chizmada orqali belgilangan);
Bundan <OMN=< ONM ya’ni NOM- teng yonli va ON=OM ekanligi kelib chiqadi. Izlanayotgan egri chiziqning M(x;y) nuqtadan o’tuvchi urunma tenglamasini tuzamiz:
(1)
bunda X va Y urunmaning joriy koordinatalari. N(o;Y) nuqta uchun X=0 ekanligidan (1) tenglamadan ON=Y=y-y’x ga ega bo’lamiz. ekanligidan (2) kelib chiqadi. y=f(x) yechimni topish uchun, bir jinsli birinchi tartibli (2) differentsial tenglamani yechamiz. (2) tenglamaning yechimi.
(3) ko’rinishga ega ekanligini tekshirish qiyin emas va bu parabola oilasidagi egri chiziq bo’ladi. nuqta parabolaning uchi bo’lsa, va c= p ekanligini ko’ramiz. Buni (3) tenglikka qo’yib tenglamani hoail qilamiz. Bu oynaning tekis kesim tenglamasidir. Bu fokusining masofasi p/2 ga teng bo’lgan parabola tenglamasi. Bundan nur tarqalish markazi parabola fokusida joylashgan. Demak izlanayotgan oyna sirti aylanma paraboloid ekan, nur tarqalish joyi uning fokusidadir. Projektorlar uchun aynan shunday oynalar foydalanadi.
4-masala.
chiziq (0; 1) nuqtadan o’tib, uning ixtiyoriy nuqtasidan o’tkazilgan urinmaning burchak tangensi, shi nuqta koordinatalari ko’paytmasi ikkilangan teng bo’lsa, chiziq tenglamasini toping.
Yechish.