3-Mavzu. Differentsial tenglamalarga keltiruvchi masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. Koshi masalasi. Tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar

b) - xarakteristik tenglamaning oddiy (bir karrali) ildizi bo’lgan holda xususiy yechimni (4) ko’rinishda izlaymiz.
c) son xarakteristik tenglamaning 2 karrali ildizi bo’lgan hol. Bu holda funksiyani differensial tenglamaga qo’yish natijasida ko’phadning darajasi 2 birlik pasayadi. Haqiqatan ham, agar - xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lsa, u holda , bundan tashqari, ikki karrali ildiz bo’lgani uchun .
Demak, (8.4) tenglikning chap tomonida ya’ni (n-2) – darajali ko’phad qoladi. O’rniga qo’yish natijasida n – darajali ko’phad tashkil qilish uchun xususiy yechimni bilan (n+2) – darajali ko’phadning ko’paytmasi shaklida izlash kerak.
Demak, xarakteristik tenglamaning 2 karrali ildizi bo’lgan holda xusuiy yechimni ko’rinishda izlaymiz.
Misol:
Yechish: Bu tenglamaning o’ng tomoni ko’rinishda bo’lib, daraja ko’rsatkichdagi 1 koeffitsient xarakteristik ko’phadning oddiy ildizi. Demak, xususiy yechimni yoki ko’rinishda izlaymiz; Bu ifodani tenglamaga qo’yib,

yoki,

ni hosil qilamiz. Bundan esa,
; .
Demak, . Umumiy yechim
2 – hol. O’ng tomon
(5)
ko’rinishda bo’lsin. Bunda P(x) va Q(x) – ko’phadlar. U holda xususiy yechimning ko’rinishi quyidagicha aniqlanadi.
a) son xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, u holda (8.1) tenglamaning xususiy yechimini
(6)
ko’rinishda izlash kerak, bunda U(x) va - darajasi P(x) va Q(x) ko’phadlarning eng yuqori darajasiga teng bo’lgan ko’phadlardir;
b) soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lsa, u holda xususiy yechimni (7)
ko’rinishda izlaymiz. Agar P(x) yoki Q(x) ko’phadlarning birortasi 0 ga teng bo’lsa, ya’ni o’ng tomoni yoki ko’rinishda bo’lgan vaqtda ham ni yuqoridagi ko’rinishi saqlanadi.
2 – tartibli chiziqli tenglamaning o’ng tomoni
(8)
ko’rinishda bo’lsin.
Agar soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo`lsa, xususiy yechimni

ko`rinishda izlash kerak.