3-Mavzu. Differentsial tenglamalarga keltiruvchi masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. Koshi masalasi. Tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar

у=С₁у₁+С₂у₂ funktsiya (3) tenglamaning qanday yechimi deyiladi.

y''+py'+qy=0 (1) (bu yerda p,q lar o’zgarmas haqiqiy sonlar.)ko’rinishdagi tenglamaga o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglama deyiladi. Xususiy yechimni y=e^kx (k=const) ko’rinishda izlaymiz:
Bu holda у'=ke^kx, у''=k²e^kx, y, у', y'' larni (1) gа quyamiz.
e^kx(k²+pk+q)=0  k²+pk+q=0 (2)
(2) chi tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.(2) tenglamakvadrattenglamadir.

Quyidagi holler bo’lishi mumkin:
1. к₁ va к₂ -haqiqiy va к₁к₂
2. к₁ va к₂- kompleks sonlar:
3. к₁va к₂ -haqiqiyva к₁=к₂.
Buhollarnialohidaqaraymiz:
1. Xarakterictiktenglamaningildizldrihaqiqiyvaharxil (к₁к₂) bo’lganhol.
Bu holda ‑tenglamaning chiziqli erkli yechimlari, chunki
Demak, (1) tenglamaning umumiy yechimi y=c₁e^kx+c₂e^kx (3)
ko’rinishda bo’ladi.
2. Хаrakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlar k₁=+i, k₂=-i, bu yerda
Хususiy yechimlar y₁=e^(+i)x vаy₂=e^(-i)xy=u(x)+iv(x) funktsiya (1) tenglamani qanoatlantirsin, u holda u(x) vаv(x) funktsiyalar ham (1) tenglamani qanoatlantiradi:

Yuqorida isbotlanganga ko’ra lar ham (1) tenglamaning yechimlari bulari, chunki vа lar (1) ning chiziqli erkli yechimlari:

Demak, (4)
bu tenglamaning umumiy yechimidir.

2. 
   Хаrakteristik tenglamaning ildizlari xaqiqiy vа teng bo’lgan hol.
   

Bunda к₂=к₁=α. U holda , Ikkinchi yechimni ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda ko’rinishda bo’ladi.Аgar А=1, В=0 deb olsak (х)-х bo’ladi, bundan ekanligi kelib chiqadi.

1. 
   tenglamaning umumiy yechimi (5)
   

ko’rinishda bo’lar ekan.
Misol 1. (Ildizlari haqiqiy turlicha)
tenglamani yechaylik.
Yechish. Ushbu tenglama, ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differentsial tenglamadir. Unga mos xarakteristik tenglama ko’rinishda bo’ladi, unung ildizlari ga teng. (3) ga ko’ra tenglama umumiy yechimi ko’rnishda bo’ladi.
Misol 2. (Ildizlari haqiqiy o’zaro teng)

Yechish. Ushbu tenglama, ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differentsial tenglamadir. Unga mos xarakteristik tenglama ko’rinishda bo’ladi, unung ildizlari ga teng. (4) ga ko’ra tenglama umumiy yechimi ko’rnishda bo’ladi.
Misol 3. (Ildizlari kompleks)
tenglamani yechaylik.
Yechish. Ushbu tenglama, ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differentsial tenglamadir. Unga mos xarakteristik tenglama ko’rinishda bo’ladi, unung ildizlari ga teng. (5) ga ko’ra tenglama umumiy yechimi ko’rnishda bo’ladi.
32-ma’ruza.O’zgarmas koeffitsiyentli yuqori tartibli bir jinsli bo’lmagan, o’ng tomoni maxsus ko’rinishga ega bo’lgan differentsial tenglamalar.
Bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli tenglama y''+a₁y'+a₂y= (x) (1) ko’rinishda bo’ladi.
1‑teorema. Bir jinslimas (1) tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning biror у* хususiy yechimi bilan mos bir jinsli
y''+a₁y'+a₂y=0 (2)
tenglamaning у umumiy yechimi yig’indisi kabi ifodalanadi.
Bir jinslimas tenglama xususiy yechimini topishning umumiy usulini ko’rsatamiz.
Ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli
(2) tenglamaning umumiy yechimini yozamiz:
у=С₁у­₁+С₂у₂ (3)
С₁ vаС₂ ni х ning hozircha noma’lum funktsiyalari hisoblab, (1) tenglamaning xususiy yechimini (3) ko’rinishda izlaymiz.
(3) ni differentsiallaymiz:
y'=C₁y₁'+C₂y₂'+C₁'y₁=c₂'y₂