3-Mavzu. Differentsial tenglamalarga keltiruvchi masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. Koshi masalasi. Tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar

Misol:
Yechish: k²+4=0 xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁=2i ; k₂=-2i bo’ladi.
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
bo’ladi.
Bir jinslimas tenglamaning xususiy yechimini

ko`rinishda izlaymiz. Bu holda


Bu ifodalarni berilgan tenglamaga qo’yib va cos2x hamda sin2x oldidagi koeffitsientlarni bir – biriga tenglab, A va B ni aniqlash uchun 4B=1; - 4A=0 tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, bunda A=0 .
Demak, berilgan tenglamaning umumiy integrali:
.
Differentsial tenglamalar sistemasiga dinamikani oddiy masalalaridan biri, ya’niog’ir moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch berilgan bo’lsa, uni harakat qonunini topish. Bu masalani yechishda umumiy holda quyidagi sistemasa kelinadi.
(1)
bu yerda x, y, z harakatlanuvchi nuqtaning koordinatalari, t-vaqt, f, g va h o’z argumentlarining ma’lum funktsiyalari. Bu sistemani differentsiallash yordamida
N=2+2+2=6 tartibli bir noma’lumli tenglamaga keltiriladi. Buni misolda ko’rsataylik.
Misol 1. (argument t) bu sistema uchun №=2
Yechish. bu tenglamada faqat bitta o’zgaruvchi qatnashayapti. Uning yechimi
(2)
endi sistemaning 1-tenglamasidan
(3)
bo’ladi. Topilgan (2) va (3) ifodalar berilgan sistemani yechimlari deyiladi.
Misol 2. bu sistema 2 –tenglamasidan
yoki bo’ladi. Bu tenglama yechimi
ko’rinishda bo’ladi.
Bu holda bundan ni hosil qilamiz.
Misol. bu sistemani yechish uchun yuqoridagi usul biror natijaga olib kelmaydi. Ko’rinib turibdiki bu sistemaning 1-tenglamasi faqat bitta funktsiyaga bog’liq, uni bevosita yechish mumkin.
bundan esa x=c₁e^t ekanini topamiz, topilgan yechimni sistemaning 2-tenglamasiga qo’ysak
ni hosil qilamiz, uning yechimi
yechimni topamiz. Demak, sistema yechimlari topildi.
Yuqorida keltirilgan usul, har doim ham qo’yilgan masalani to’la yechish imkonini bermaydi. Shuning uchun sistema yechimini topishning boshqa yo’lini izlash kerak.
Bizga ushbu o’zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differentsial tenglamalar sistemasi
(1)
berilgan bo’lsin. Bunda а_ij koeffitsiyentlar o’zgarmas sonlar. Bu yerda t аrgument, x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t) izlanayotgan funktsiyalar.
Sistemaning xususiy yechimini
x₁₌₁e^kt, x₂₌₂e^kt, ..., x_n=_ne^kt, (2)
ko’rinishida izlaymiz, bu yerda ₁, ₂,..., _n vак sonlarni aniqlash talab qilinadi.
(2) ni (1) gа qo’yamiz

e^kt gа qisqartiramiz. Barcha hadlarni bir tomonga o’tkazib vа₁, ₂, ... _n oldidagi koeffitsiyentlarni to’plab, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
(3)
₁, ₂, ..., к larni (3) sistemani qanoatlantiradigan qilib tanlab olamiz. (3) ning determinantini tuzamiz.
(4)
Аgar к shunday bo’lsaki, 0 bo’lsa, (3) faqat ₁=₂=...=_n=0 bo’ladi, (2) formula faqat trivial yechimni beradi.
x₁(t) = x₂(t)=...= x_n(t)0
Shunday qilib, (2) trivial bo’lmagan yechimlarni biz k‑ning shunday qiymatlarida hosil qilamizki, bu qiymatlarda =0.
Biz k ni aniqlash uchun ushbu n tartibli tenglamaga kelamiz.
(5)
(5) tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi, uning ildizlari xarakteristik tenglamaning ildizlari deyiladi.
Bir necha holni ko’rib chiqamiz.
I. Хаrakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy vа har хil. к₁,к₂, ...к_n lar bilan (5) ning ildizlarini belgilaymiz. Har bir к_i ildiz uchun (3) sistemani yozamiz vа
₁⁽ⁱ⁾ , ₂⁽ⁱ⁾, ..., _n⁽ⁱ⁾
koeffitsiyentlarni aniqlaymiz. к₁ ildiz uchun (1) sistemaning yechimi
x₁⁽¹⁾, ₁⁽¹⁾e^k₁^t, x₂⁽¹⁾, ₂⁽¹⁾e^k₁^t, ..., x_n⁽¹⁾, _n⁽¹⁾e^k₁^t
к₂ ildiz uchun (1) sistemaning yechimi
x₁⁽²⁾, ₁⁽²⁾e^k₂^t, x₂⁽²⁾, ₂⁽²⁾e^k₂^t, ..., x_n⁽²⁾, _n⁽²⁾e^k₂^t
..................................
к_n ildiz uchun (1) tenglamaning yechimi
x₁⁽ⁿ⁾, ₁⁽ⁿ⁾e^k_n^t, x₂⁽ⁿ⁾, ₂⁽ⁿ⁾e^k_n^t, ..., x_n⁽ⁿ⁾, _n⁽ⁿ⁾e^k_n^t
bevosita tenglamaga qo’shish yo’li bilan
(6)
funktsiyalar sistemasi ham, bunda С₁,С₂,...,С_n ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar, (1) differentsial tenglamalar sistemasining umumiy yechimidir.
Хаrakteristik tenglamaning ildizlari bir хil,ammo ular orasida kompleks ildizlari bor
Хаrakteristik tenglamaning ildizlari orasida ikkita qo’shma kompleks ildiz bo’lsin.
k₁=+i, k₂=-i
Bu ildizlarga ushbu yechimlar mos bo’ladi.
(7)
(8)
_j⁽¹⁾ vа_j⁽²⁾ koeffitsiyentlar (3) tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
Ikkita xususiy yechim hosil bo’ladi.
(9)
Bunda lar _j⁽¹⁾ vа_j⁽²⁾оrqali aniqlanadigan haqiqiy sonlar.
(9) funktsiyalarning mos kombinatsiyalari sistemaning umumiy yechimiga kiradi.
Misol. tenglamalar sistemasi umumiy echimi topilsin.
Yechish: Xarakteristik tenglamani tuzamiz.
yoki
a) da
bunda son
b) da bunda
bundan
v) da bundan



Demak, sistema yechimi