4-ma’ruza. Monoton funksiyaning limiti. Koshi kriteriyasi. Ba’zi bir ajoyib limitlar. Maple dasturida funksiya limitlarini hisoblash1 Mavzu rejasi

4-ma’ruza. Monoton funksiyaning limiti. Koshi kriteriyasi. Ba’zi bir ajoyib limitlar. Maple dasturida funksiya limitlarini hisoblash¹

Mavzu rejasi:
1.Monoton funksiyaning limiti.
2.Koshi kriteriyasi.
3.Ba’zi bir ajoyib limitlar.

1. Birinchi ajoyib limit va uning natijalari
Limitlarni hisoblashga doir mashqlarda ba’zi bir ifodalarning limiti ko‘p marta uchraydi. Shuning uchun ularni alohida ko‘rib chiqamiz.
1-teorema. Ushbu =1 tenglik o‘rinli.
Isboti. 0<x< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x larda sinx<xx qo‘sh tengsizlik o‘rinli (1-rasm).



1-rasm
Shuningdek, sinx>0 bo‘lgani uchun bu tengsizlikni sinx ga bo‘lsak, 1< < hosil bo‘ladi. Bundan cosx< <1 kelib chiqadi. Uni (-1) ga ko‘paytirib, 1 ni qo‘shsak, 0<1- <1-cosx tengsizlikka kelamiz. Endi, sinx toq, cosx juft funksiya bo‘lgani uchun bu tengsizlik x ni -x bilan almashtirganda ham o‘zgarmaydi. Shu sababli, oxirgi tengsizlik 0 dan farqli barcha x(- ; ) larda o‘rinli. Qolaversa, 0<|x|< bo‘lgan x larda 1-cosx=2sin² <2|sin |<2| |=x bo‘ladi. Bulardan, |1- |<|x| tengsizlik hosil bo‘ladi.
Oxirgidan, =1 ekanligi kelib chiqadi.
Odatda bu tenglikni birinchi ajoyib limit deb yuritiladi.
1-natija. Quyidagi tengliklar o‘rinli:
a) ; b) .
Isboti. a)

b) .


1-misol. limitni hisoblang.
Yechish. .

2. Ikkinchi ajoyib limit va uning natijalari²

Biz birinchi bobning 3-§ da ekanligini isbotlagan edik. Oliy matematika kursida bu tenglikning umumiy holi-quyidagi teorema isbotlanadi.
2-teorema. Ushbu tenglik o‘rinli.
Bu tenglikdan ekanligini keltirib chiqarish mumkin.
Haqiqatan, x= almashtirish kiritsak, u0 da x bo‘lib, kelib chiqadi.
Murakkab funksiyaning limiti haqidagi teorema yordamida quyidagi tengliklarni keltirib chiqarish mumkin:
2-natija. , xususan tenglik o‘rinli.
Isboti. .
3-natija. , xususan tenglik o‘rinli.
Isboti. Agar u=a^x-1 desak, u holda a^x=1+u yoki x=log_a(1+y) bo‘lib, x0 da u0 bo‘ladi. Demak, .
4-natija. tenglik o‘rinli.
Isboti. Agar u=(1+x)^-1 desak, u holda (1+x)^=1+u yoki ln(1+x)=ln(1+y) bo‘lib, x0 da u0 bo‘ladi. Demak,
.
2-misol. limitni hisoblang.
Yechish. =

3-misol. limitni hisoblang.
Yechish. 4-natijaga ko‘ra
= =  (-2)= - .

1^ Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag. Italia, Milan. 2008.-435p. 93-96 b. mazmun-mohiyatidan foydalanildi.
Calculus. Ron Larson (ThePennsylvania State Universitety. The Behrend College) Bruce H.Edwards (University of Florida) 2010. 64-66b. mazmun-mohiyatidan foydalanildi
Calculus. A complete course. Textbook. Robert A.Adams. Toronto. 2010. 76-77b. mazmun-mohiyatidan foydalanildi

2^ Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag. Italia, Milan. 2008.-435p. 105-108 b. mazmun-mohiyatidan foydalanildi.