A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

2
J™, (x³+2)=-oo bo‘lganligidan, tg²x, ’ ^%2+x+l’ x³+2 funksiyalar cheksiz katta funksiyalarga misol bo‘ladi.
X to‘plamda aniqlangan /(x) funksiya x^a da (bu yerda a shu X to‘plamning limit nuqtasi) chekli b limitga ega bo‘lsa (ya‘ni li^/(x)=/>), u holda a(x)=/(x) — b funksiya x-^a da cheksiz kichik funksiya bo'ladi. Agar /(x) funksiya f(x)—b+a(x) (bu yerda a(x), ifoda x-^a da cheksiz kichik funksiya) ko‘rinishda tasvirlansa, b— funksiyaning x-^a dagi limiti bo‘ladi.
Eslatma. Funksiyaning biror nuqtada bir tomonli limitlari mavjud bo‘lishidan uning shu nuqtada limitga ega bo'lishi har doim ham kelib chiqavermaydi.
♦ 3- teorema. f (x) funksiya a
^л nuqtada b limitga ega bo’lishi uchun uning shu nuqtada o‘ng va chap limitlari mavjud bo‘lib,
4.19- chizma. f (_o+0) ₌ f(_a-Q)=b
tengliklar o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.

6. 
   misol. /(x) funksiya x=0 nuqtada limitga ega emasligini ko‘rsating (4.19-chizma):
   

f(x) =

x², agar x < 0 bo'lsa,

x +1, agar x > 0 bo‘lsa.

Yechilishi. Berilgan funksiya son o‘qida aniqlangan. x < 0 uchun

funksiya/(x) = x² formula bilan beriladi. x = 0 nuqtada x² funksiyaning limiti nolga teng bo‘ladi, u holda 3-teoremaga asosan x=0 nuqtada berilgan funksiyaning chap limiti ham nolga teng bo‘ladi:
lim fix) - lim x² lim x² = 0.
л-->0- x->0 x >0
x=0 nuqtada berilgan funksiyaning o‘ng limiti 1 ga teng bo‘ladi: lim fix) - hm(x4 1) - lim(,v+ I) I. '
Demak, berilgan funksiya x 1) nuqtada cnap va o'ng limiilarga
ega bo‘lib, lekin ular teng emas: lim f(x) * ]jm f(x). Shunday x->0+ <->()—
qilib, 3-teoremaga asosan, berilgan funksiya x=0 nuqtada limitga
ega emas.
7-misol. Ushbu funksiyaning x=0 nuqtada limitga egaligini ko‘rsating:

/(x) =
x, agar x < 0 bo‘lsa,
sin x, agar x > 0 bo‘lsa.
Yechilishi. Berilgan funksiya son o‘qining x=0 nuqtadan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan./(x) funksiyaning x=0 nuqtada chap va o‘ng limitlarini hisoblaymiz:

FUNKSIYALAR VA GRAFIKLAR 3
³ > f=-^= 31

maga asosan, berilgan funksiya x=0 nuqtada chekli limitga ega. Funksiya limitining mavjudligi haqidagi teoremalarni qaraymiz.

4. 
   teorema. Agar nuqtaning Щд) atrofidan olingan x ning barcha qiymatlarida
   

#(x)< f(x)tengsizlik o‘rinli hamda x-^a da g(x) va Л(х) funksiyalar limkga ega
bo‘lib,
lim g(x) - lim h(x) - b
x-^a x-^a
bo‘lsa, u holda fix) funksiya ham limitga ega va


lim f(x) = b
х-ьа bo‘ladi.

4. 
   teorema. Agar f(x) funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuvchi) boiib, yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lsa, f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega bo‘ladi va, agar f(x) funksiya yuqc jdan (quyidan) chegaralanmagan bo‘lsa, uning limiti +oo (_oo) bo‘ladi.
   
5. 
   teorema (Koshi kriteriysi). f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega bo‘lishi uchun, Ve > 0 son uchun shunday 5=6(e)>0 son topilib, argument x ning 0<|xi—a|<5, 0<|хг—a|<5 tengsiz- liklami qanoatlantiruvchi ixtiyoriy xi va X2 (xi, хге X) qiymatlarida 1/Ul)—/(^)|
   

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.

8. 
   misol. ⁺ _x2 funksiyaning x-»°° da limitini toping.
   

Yechilishi. Barcha x*0 lar uchun quyidagi
1 /i i~ 1 ¹
1 < 1 + , < 1 + -y
у x x
tengsizlik bajariladi. lim(l + L) = 1 chunki lim Д = 0. Demak, x x—^°° x
4- teoremaga asosan, 4
lim /1 + \г = 1
у X
bo‘ladi.
9-misol. x->0 da/(x)=x²sin - funksiyaning limiti chekli ekan- ligini ko‘rsating.
Yechilishi. Berilgan funksiyaning x=0 nuqtada chekli limitga ega ekanligini isbotlashda Koshi kriteriysidan foydalanamiz. Ve > 0 son olib, 5ni 5 = ^| debqarasak,xning 0 <| Xj |< 0 <| x₂ |<



|/(Xi)-/(x₂)! =

2-1 2-1
X, sin x₂ sin -
X! ² X₂
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x_p x₂ qiymatlari uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
< iXy sin * +1%2 sin ¹ I <| X] 1²+ | x, 1²< e Xp [ x₂! “
Bu esa qaralayotgan funksiya x=0 nuqtada Koshi kriteriysini qanoatlantirishini ko‘rsatadi. Demak, berilgan funksiya x—>0 da chekli limitga ega ekan.
Funksiyaning limitini topishda quyidagi ajoyib limitlar muhim rol o‘ynaydi:
,. , • sin x ,. x ,

FUNKSIYALAR VA GRAFIKLAR 3
³ > f=-^= 31

1. 
   lim ^log°(^1+x> = log e(a > 0, a * 1); x->0 X
   
2. 
   lim ^{a —1} = In a (a > 0). x->0 x
   

Ikkita f(x) va g(x) funksiya XcR' to‘plamda aniqlangan bo‘lib, a nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Bu holda yuqorida keltirilgan ajoyib limitlardan quyidagi tasdiqlar o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi:

3. 
   Agar lim f (x)=A>0, lim ip(x)=B (A, В — chekli sonlar) x-^a x^a
   

bo‘lsa, u holda
lim ф(х)1п /(x)
lim f{xy^[x} = e^^a = e*^lnA = A^B x-^a bo‘ladi.

4. 
   Agar lim/(x)=l, lim(p(x)=°° bo‘lsa, u holda lim [/"(x)]^^ x->o x->o x->a
   

lim ф(х)[/(х)-1]
= e^x~*^a tenglik o‘rinli bo‘ladi.
10-misol. lim hisoblang.
x-»0 x^L
Yechilishi. 1) formulaga asosan quyidagiga ega bo‘lamiz:
.. 1—cos2x >. 2sin²x fsinx)² ~
lim —, = lim , = 2 hm =2.