A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

4°. Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi. Agar f (x) funksiya [a;Z>] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, kesmaning chetki nuqtalarida f (a)=A, f(b)=B qiymatlar qabul qilsa hamda A^B bo‘lsa, A va В sonlar orasida har qanday C son olinganda ham a bilan b orasida shunday c nuqta topiladiki,/(c)=Cbo^Lladi (5.13-chizma).
4- misol. Ushbu /(x)=cosx+2^A—x⁴ funksiyani [1;5] kesmada chegaralanganlikka tekshiring.
Yechilishi. Berilgan funksiya [1;5] kesmada uchta/_l(x)=cosx, /₂(х)=2^л, /₃(x)=—x⁴ funksiyaning yig‘indisi shaklida berilgan. Ravshanki, ulaming har biri [ 1 ;5] kesmada uzluksizdir. 2-teoremaga asosan, berilgan funksiya ham [1;5] kesmada uzluksiz. U holda, Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko‘ra, berilgan funksiya [ 1 ;5] kesmada chegaralangan.
Eslat ma. Veyershtrassning birinchi teoremasi {a\b} oraliq uchun har doim ham o‘rinli emas. Masalan, fix) = * funksiya xg (0;l) da uzluksiz, lekin bu oraliqda chegaralanmagan. Bu funksiya (0,1) oraliqning har bir ichki nuqtasining kichik atrofida chegaralangan, lekin oraliqqa tegishli bo‘lmagan nol nuqtaning atrofida chegaralanmagan.

5.15-chizma.

5.14-chizma.

5.12-chizma.

5.13-chizma.


Eslatma. Uzilishga ega bo‘lgan funksiya [a;Z>] kesmaning har bir nuqtasida aniqlangan, lekin bu kesmada chegaralanmagan. Masalan,

/(x) =
*, 0 < x < 1 bo‘lg anda, 0, x = 0 bo‘lg anda.
Shunday qilib, teoremadagi fix) funksiyaga qo‘yilgan shart- larning har ikkalasi ham muhimdir.
5-misol./(x)=x³—3x funksiyaning [—fifi] kesmada eng katta va eng kichik qiymatlari mavjudmi? (5.14-chizma).
Yechilishi. Ravshanki, x³ va 3x funksiyalarning har biri [—kesmada uzluksiz. 2-teoremaga asosan berilgan f(x) funksiya ham [—^/3; J3 ] kesmada uzluksiz. U holda Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko‘ra berilgan funksiya [—V3] kesmada aniq yuqori va aniq quyi chegaralariga erishadi:
sup {/(x)} - /(-1) = 2, inf {/(x)} = /(1) = —2.
Eslatma. [t?;Z>] kesmada uzluksiz bo‘lmagan funksiya uchun Veyershtrassning ikkinchi teoremasi o‘rinli emas. Masalan,
{x + 2, —2
0, x = 0 bo‘lganda, x — 2, 0f (x>—2.
Eslatma. (a;b) oraliqda uzluksiz boigan f(x) funksiya uchun Veyershtrassning ikkinchi teoremasi o‘rinli bo‘lmasligi ham mumkin. Masalan, /(x)=x funksiya (0; 1) da eng katta va eng kichik qiymatiga erishmaydi. (0;l) oraliqda f(x)—x funksiyaning eng kichik va eng katta qiymati mos ravishda 0 va 1 bo‘ladi, lekin xe(0;l) ning har qanday qiymatida /(x)^0 va /(x)^l bo‘lmaydi (5.16-chizma).






5.17-chizma.

5.16-chizma.


Eslatma. Xususiy hollarda, f(x) funksiya (a,b) oraliqda uzluksiz (uzilishga ega) bo‘lsa, f(x) funksiya shu oraliqda eng kichik va eng katta qiymatiga erishishi mumkin. Masalan, 1) (0; 2л) oraliqda berilgan f (x)=sin x funksiya uchun
sup {f(x)} = fC) = \, inf {/(х)} = /ф = -1 хе(0;2л] ² ле(0;2л] ²
bo‘ladi.
2) [- Г. 1] kesmada berilgan
_{f( s} _ Jx T1, — l
^J[—x, 0 < x < 1 bo‘lg anda
‘unksiya x=0 uzilishga ega. Bu funksiya x=0 va x=l nuqtalarda mos avishda eng katta va kichik qiymatiga erishadi:
sup {Z(x)} = Z(0) = 1, inf {Лх)} = Л1) = -1
xe(—l;l] xe<—1;1J
(5.17- chizma).
6-misol. [ 3;2] kesmada f(x)=^—3x+2 funksiyaning nollari mavjvdmi?
Yechilishi. Berilgan funksiyaning x=—3 va x=2 nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: /(—3)=—16<0,/(2)=4>0./(x) funksiya [—3;2] kesmada uzluksiz va kesmaning chetlarida har xil qiymatlar qabul qiladi. U holda, Bolsano—Koshining birinchi teoremasiga ko‘ra, [—3;2] da hech bo'lmaganda bitta nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiyaning qiymati nolga teng bo'ladi:
Ж)⁼⁰’ (x-l)²(x+2)=0 => x=l, x=-2 e[—3;2].
Demak, berilgan/(x)=x³—3x+2 funksiyaning [—3; 2] da Xj=l, x₂=—2 nollari mavjud (5.18- chizma).

2’2

kesmadagi biror
7-misol. Ushbu /(x)=sinx funksiya nuqtada * qiymatni qabul qiladimi?



Yechilishi. Berilgan funksiya

2^:_? kesmada uzluksiz va

kesmaning chetlarida har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi:
= । va —1^1. Shartga ko‘ra,
U holda, Bolsano—Koshining ikkinchi teoremasining shartlari

bajarilayapti. Demak, shunday x₀ nuqta topiladiki, /(x₀) = 2

Mustaqil yechish uchun misollar

Funksiyalarning uzluksizligini ta‘rifdan foydalamb korsating.

1. 
   . f(x)=x². 2. f(x)= . 3. /W-W.
   

4. 
   .f(x)=^. 5./(x)=2x —1. 6./(x) = \ x * 0.
   

7. 
   .f(x)=x²+ 2sinx. 8. f(x) = . 9./(x)=cos x.
   

10./(x)—4x²—3x+5.
Funksiyalarning uzilish nuqtalarini toping va ularning turlarini aniqlang.
И. /(х) = Ы 12. /(x) = J^4. 13.Дх)=х-[*]. х+З х — х
х² + 2, х < 0 bo'lganda,
х — 1, х > 0 bo'lganda.
15 f(x) = • ^— х ’ ^{х с} 0 bo'lganda, 5х — х², х > 0 bo'lganda.
16./(x)=(signx)². 17. /(х) = ? _. 18. f(x) = И; х —9 х
19./(x)=sign(cosx). 20./(х) = \ •
i+з*-¹

21.

/(х) =

23. /(х) -
х², — оо < х < 0 bo'lganda, (х —1)2, 0 < х < 2 bo'lganda, 5 ■— %, 2 < х < н-сю bo'lganda.

22. /(х) = х²
х + 4, х< — 1 bo‘lganda,
+ 2, — 1 < х < 1 bo'lganda,
2х, х > 1 bo'lganda.
— 1, х < 0 bo‘lg anda,
cosx,0 < x < л bo'lganda,
1—x, х>л bo'lganda.
Funksiyani ko'rsatilgan nuqtalarda uzluksizlikka tekshiring:

24. 
    f(x) = 2* 5 + l;xj = 5,x₂ = 6. i
    
25. 
    /(x) = 6^-> — 3;x, = l,x₂ =2.
    
26. 
    f(x) = X! =3,x₂ =4.
    
27. 
    /(x) = ; x, = -l,x₂ = 2.
    
28. 
    /(x) = ^³₅ ; x_b = —5, x₂ = —4.
    

Funksiyalar a va b ning qanday qiymatlarida uzluksiz bo'ladi?

29. /(x) =
(x — 2)³, x<0 bo'lganda, < ax² + b, 0 < x < 1 bo'lg anda,
7x, x > 1 bo'lg anda.
30. /(х) = + V > ⁰ bo‘]g anda,
—x, x < 0 bo 1g anda.

31. f(x) =
У_ _s |_x| i bo‘lg anda, a,x = — 1 bo‘lganda, Z>,x = l bo‘lganda.
/|

32./(x)=signx, (p(x)=4+^. 33./(x)=sign (x— 1), (p(x)==sign (x+1).
34./(x)=sign x, ф(х)=х³—x.. 35./(x)=x(l—x²), ф(x)=sign x.
Funksiyalaming x₀ dagi qiymatini shunday tanlash kerakki, funksiya shu nuqtada uzluksiz bo‘lsin.

36. 
    /(x) = ^sinx , x₀ = 0. 37. /(x) = = -1­x x —1
    

38. 
    f(x) . - 0. 39. /(x) - - 0.
    

40. 
    /(x) = tg , x₀ = 0. 41. f(x) = ^4x2~^x, x₀ = 0.
    

42. 
    /(x) = arctg ’, x₀ = 0. 43. f(x) = , x₀ = 0.
    

Funksiyalaming berilgan kesmada chegaralanganligini ko‘r- sating:

44. 
    f(x) = sin xcos² x — xJx + 6, xe[0;10].
    
45. 
    f (x) = arctg ^x^ + 2^{sin x} — x², x e [1; 4].
    
46. 
    /(x)=x(x—2)² ln(4—x), xe[0;3].
    
47. 
    /(x) = ^xl^+l xg[-4;4].
    

x +4
Funksiyalaming berilgan kesmada eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo‘ladimi?

44. 
    /(x)=sin x +3*, xe[—1;2]. 49./(x)=x²—2, xe[—1;2].
    

50. /(x)=3, xg [—4;4].

51. /(*) =

funksiya berilgan
-х² +1, — 1 < х < 0 bo‘lg anda, < О, х = О bo‘lganda, х² — 1, О < х < 1 bo‘lg anda sohada eng katta va eng kichik qiymatlami qabul qiladimi?
Tenglamalaming ko‘rsatilgan kesmada yechimga ega ekanligini ko‘rsating:
52. x³+2x+l=0, xe[-l;0]. 53. x³-x⁵-x+2=0, xg[0,5;2].

54. 
    sin³ x — 5 sin x +1 = 0, xe [0;’].
    
55. 
    sinx—х+1=0, хе[0;л].
    
56. 
    2*=1, xg[0,2;3]. 57. 2^=4 x, xg[2;5].
    

Funksiyalaiga teskari bo‘lgan funksiyalar mavjudmi?


62. У = tgx, xe 0;”
58.y=5x+4, xgT?¹. 59. y=2^x, xg R^l. 60. y=x\ xg (—o°;0].
61. y = cos2x, xg — ^;0 .
63. y=4x², xg[—2;1], 64. y=lg²x, xg(0;+°°).
Mustaqil yechish uchun berilgan misollarning javoblari