A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

a)

5.4-a, b chizmalar.

5. 
   a, b, d, e chizmalar.
   

munosabat o‘rinli bo‘lsa, f(x) funksiya a nuqtada yo‘qotilishi mumkin bo'lgan uzilishga ega deyiladi (5.4-a, b chizmalar).
2-hol. Agar x -> a da/(x) funksiyaning o‘ng va chap limitlari mavjud va chekli bo‘lib, ular bir-biriga teng bo‘lmasa (/(a—0) * (a+ty),f (x) funksiya a nuqtada birinchi tur uzilishga ega deyiladi
(5.5- a, b, d, e- chizmalar).
Ushbu |/’(o+0)—/(а—0)|=й ayirma/(x) funksiyaning a nuqta- dagi sakrashi deyiladi.

f)

5. 
   a, b, d, e, f chizmalar.
   

3-hol. Agar x—>a da f (x) funksiyaning:

1. 
   o‘ng va chap limitlaridan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmasa;
   
2. 
   o‘ng va chap limitlaridan biri cheksiz yoki o‘ng va chap limitlari turli ishorali cheksizdan iborat bo‘lsa;
   
3. 
   limiti cheksiz (funksiyaning o‘ng va chap limitlari cheksiz) bo‘lsa, fix') funksiya a nuqtada ikkinchi tur uzilishga ega deyiladi (5.6-a, b, d, e, f chizmalar).
   

Agar chap f(a—0) yoki o‘ng /(a+0) limitlardan hech bo‘l- maganda biri °° ga teng bo‘lsa, x=a nuqta cheksiz uzilish nuqtasi deyiladi (5.6-a, b, d, e, f) chizmalar).
1-misol. Ushbu funksiyani uzluksizlikka tekshiring:

/(*) =
x⁴, x /0 bo‘lganda,
2, x = 0 bo‘lganda.
Yechilishi. Ravshanki, berilgan funksiyaning x=0 nuqtadagi chap limiti lim x⁴ = 0 = /(0 — 0) va o‘ng limiti lim f(x)= lim x⁴ .x^O-O ^x x-»0+0 л-»0+0
= 0 = /(0 + 0) mavjud bo‘lib, lekin
/(0-0)=/(0+0)rf=/(0)
teng emas. Demak, bu funksiya x=0 nuqtada yo‘qotilishi mumkin bo'lgan uzilishga ega (5.7- chizma).
2-misol./(x)=[x] funksiyani uzluksizlikka tekshiring.
Yechilishi. x—n (neZ) nuqtada berilgan funksiyaning xos qiymatini va o‘ng hamda chap limitlarini topamiz:
/(и)=[и]=л, Д^_о/(х)=л=/(п+О),
Demak, berilgan funksiya x=n nuqtada birinchi tur uzilishga ega bo‘ladi (5.8- chizma).
3-misol. Ushbu funksiyani uzluksizlikka tekshiring:

/(%) =
1 (2x²+5), —oo < x < 1 bo‘lganda;
5 — 4x, 1 < x < 3 bo‘lg anda;
x — 5, 3 < x + °° bo‘lganda.
Yechilishi. Berilgan funksiya (-«;+<») da aniqlangan va (-°°;1), (1 ;3), (3;+oo) larda uzluksiz bo‘lib, u faqat x=l va x=3 nuqtalarda uzilishga ega bo‘lishi mumkin. Berilgan funksiyaning x=l nuqtadagi bir tomonli limitlarini hisoblaymiz:
/(1-O)_xlimj(2x²+5) = 1,
/(1+0)- lim(5 —4x) = l. ^{7 v} ' x-»l+0
Ma'lumki, x=l nuqtada berilgan funksiyaning qiymati birinchi analitik ifoda bilan aniqlanadi:

5.7- chizma.


7(1) = J(2x²+5) = 1.
Demak,/(l—O)=/(l+O)=/(l)=l bcHgani uchun, 1- teoremaga asosan, berilgan f(x) funksiya x=l nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Endi f(x) funksiyaning x=3 nuqtada chap va o‘ng limitlarini hisoblaymiz:
/(3-O)=Jjm_o(5-4x)=-7,
/(3+0)= lim (x—5)=—2.
л->3+0
Bu yerdan
/(3—0)^/(3+0)=/(3).
Demak, f(x) funksiya x=3 nuqtada 1-tur uzilishga ega bo‘lib, uning x=3 nuqtadagi sakrash kattaligi
co = /(3 + 0) - /(3 - 0) = -2 + 7 = 5 bo‘ladi.
4-misol. Funksiyani x = * nuqtada uzluksizlikka tekshiring:
/(x)=arctg (tgx) (хе( —^кя; ^+nk), k^Z).
Yechilishi. f(x) funksiyani x = у nuqtada chap va o‘ng limit­larini hisoblaymiz:

FUNKSIYALAR VA GRAFIKLAR 3
³ > f=-^= 31

bu yerdan li_m /(x) * lim /(x), demak, lim /(x) mavjud -■-°
emas. ²²
Shunday qilib, x = nuqta berilgan funksiya uchun birinchi tur uzilish nuqtasi bo‘lar ekan.
1
5-misol. /(x) = 4^Л“³ + 2 funksiyani ^=3 va x₂=4 nuqtalarda uzluksizlikka tekshiring.
YechWshi./(x) funksiyani x,=3 nuqtada chap va o‘ng limitlarini hisoblaymiz:
lim f (x) = lim (4*-³ + 2) = 2, x—>3—О л-»3-0
1
lim /(x) = lim (4^х-³ + 2) = +°°.
л->3+0 x->3+0
Demak, funksiyaning nuqtada uzilishga ega bo‘lishning 3-holiga asosan, berilgan funksiya x,=3 nuqtada 2-tur uzilishga ega bo Uadi. Endi /(x) funksiyaning x₂=4 nuqtada chap va o‘ng limitlarini hisoblaymiz:
lim f(x) = lim (4^х-³ + 2) = 6,
i
lim /(x) = lim (4^X~³ + 2) = 6, x->4+0 x^4+0
1
/(4) = 4⁴-³ + 2 = 4 + 2 = 6.
Demak, 1-teoremaga asosan, /(4—0)=/(4+0)=/(4), ya‘ni berilgan /(x) funksiya x₂=4 nuqtada uzluksiz boUadi.
6-misol. /(x) = cos funksiyani uzluksizlikka tekshiring.
Yechilishi. Berilgan /(x) funksiya x=0 nuqtada aniqlanmagan, shuning uchun x=0 nuqtaning atrofidan ikkita nolga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik olamiz:
<=^_2л) (»еЯ

Г 2 ¹
hm cos ,
^ЛП
Bu ketma-ketliklaming har biri da x' -> 0, x* -+ 0. Bu ketma-ketliklaiga mos kelgan funksiya qiymatlari ketma-ketliklari n-»°o da har xil limitlarga intiladi, ya‘ni
lim cos² -=0.
Y
^лп
Demak, 2-ta‘rifga asosan, f (x) = cos² * funksiyaning da limiti mavjud emas. Shuning uchun berilgan funksiya x=0 nuqtada 2- tur uzilishga ega bo‘ladi.
7-misol. a ning qanday qiymatlarida

/(x) =
cosx, x < 0 bo‘lganda, , a(x — I)², x>Q bo'lganda funksiya x_o=O nuqtada uzluksiz bo‘ladi?
Yechilishi. Berilgan funksiya x=0 nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun. quyidagi ^{= =} tenglik bajarilishi
kerak. U holda chap va o^ung limitlami hisoblaymiz:
lim f{x) = lim cosx = l, x—>0—0 x->0—0
lim f(x) = lim a(x — I)² = a, /(0) = l. x->0+0 x->0+0
Demak, a-1 bo‘lganda berilgan funksiya x₀=l nuqtada uzluksiz bo‘lar ekan. a/1 qiymatlarda funksiya uzilishga ega.
x²-l
8-misol. f (x) = * funksiyaning x = 1 nuqtadagi qiymatini shunday tanlangki, natijada berilgan funksiya uzluksiz bo‘lsin.
Yechilishi. Berilgan funksiyaning x->l±0 da limitlarini hisoblaymiz:
x²-l
lim f(x) = lim , = lim (x +1) = 2.
x->l±0 х-»1±0 X—1 x—>l±0
Agar /(1)=2 deb olsak, x=l da funksiya uzluksiz bo‘ladi, ya‘ni




x ф 1 bo‘lganda,

X² —1
x-1 ’

/(*) =


2°. Agar f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz va bo‘lsa, f(a) son bilan a nuqtaning yetarlicha kichik atrofida f(x) funksiyaning ishorasi bir xil bo‘ladi, ya‘ni
35>0 : Ша) —> sign /(x)=sign f(a).
Natija. Agar f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz bo‘lib, bu nuqtaning yetarlicha kichik atrofidan olingan x nuqtalarda ham musbat, ham manfiy ishorali qiymatlarni qabul qilaversa, funksiyaning a nuqtadagi qiymati nolga teng bo4adi.
3°. Agar f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz bo‘lsa, a nuqtaning yetarlicha kichik atrofidan olingan x' va x” nuqtalar uchun /(*) —/(x*)j < e tengsizlik o‘rinli bo‘ladi, bunda ve>0 son.
Funksiyaning nuqta atrofidagi xususiyatlariga uning lokal xususiyatlari deyiladi.