Asosiy qismida geometriyani o’rganishda: Evklidning “Negizlar” asari, geometriyaning aksiomatik qurilishi va uning ahamiyati, aksiomalar sistemasiga qo’yiladigan talablar

2.2.1,3-rasm. Paskal va Desargues takliflarining ayniyatlari.
Geometriya yanada rivojlantirish uchun taniqli ikkita taklif muhim ahamiyatga ega; ushbu haqiqatni tan olish muhim avans sifatida qaralishi kerak. Muallif ushbu takliflarni qisqacha Paskal va Desargues takliflari sifatida bildiradi va ularni quyidagicha shakllantiradi :
Paskalning taklifi: A, B, C va a', B', C navbati bilan kesishgan ikkita to'g'ri chiziqning har birida har qanday uchta nuqta bo'lsin, barchasi kesishish nuqtasidan farq qiladi; keyin, agar CB BC 'ga parallel va CA' C' ga parallel, BA men AB ga parallel bo'laman.
Desargues taklifi: agar ikkita uchburchak tekislikda har qanday ikkita mos tomon parallel bo'ladigan tarzda joylashgan bo'lsa, unda mos keladigan tepaliklarning qo'shilishlari bir xil nuqtadan o'tadi yoki parallel bo'ladi.
Paskal taklifining isboti, tekislik geometriyasi teoremasi sifatida, Arximed printsipi yordamisiz (I, 1) (I, 2), Il, 111 va IV (muvofiqlik aksiomalari) aksiomalari yordamida olinadi. Professor Gilbert tomonidan ushbu taklif uchun berilgan ikkita dalil o'rtasidagi muhim farq shundaki, ikkinchi isbotda barcha muvofiqlik aksiomalari ishlatilmaydi, uchburchaklar uchun muvofiqlik aksiomasi teng yonli uchburchaklar uchun bitta bilan almashtiriladi.
Bu segmentlar algebrasini ishlab chiqish (Streckenrechnung) Paskalning taklifiga asoslanib, geometriya tizimini qurish uchun ushbu teoremaning haqiqiy importi juda aniq keltirilgan. Xuddi shu chiziqdagi ikkita segmentning yig'indisi odatiy tarzda aniqlanadi, mahsulot quyidagicha aniqlansin : to'g'ri burchakning bir tomonida tepalikdan yotadi o segment a, boshqa segmentlarda 1 va b; keyin chizish la va orqali b ga parallel la; ushbu parallel boshqa tomondan segmentni kesib tashlaydi c (dan hisoblanadi O) bu mahsulot sifatida belgilanadi.
c = a*b

2.2.1,4-rasm. “a segmentning b segmentiga kirishi”.
Segmentlarning ushbu algebrasida kommutativ va assotsiativ qonunlar, albatta, summa uchun amal qiladi; lekin ular, shuningdek, ushlab, va bu Paskal ning taklif ma'nosi, ko'paytirish uchun. Va nihoyat, tarqatish qonuni,