Azərbaycan Respublika Elm və Təhsil Nazirliyi Mingeçevir Dövlət Universeti

n

 1  1 n(n  1) 1 n(n  1)(n  2) 1 x_n  1 n  1 nn  2! n₂  3! n3  ... \\ n(n  1)(n  2)...21 1

 2! nn
Teorem. Hər bir məhdud sonsuz ardıcıllıqdan, sonlu limiti olan alt ardıcıllıq ayırmaq olar.
İsbatı: Tutaq ki, x_n ardıcıllığının bütün hədləri a və b ədədləri arasında yerləşir. Bu parçanı yarıya bölsək a,c və c,b parçalarını alarıq. Aydındır ki, bu parçaların heç olmazsa birində x_n ardıcıllığının sonsuz sayda elementləri yerləşər. Belə olmasa, onda a,b parçasında sonlu sayda hədd olardı. Həmin parçanı a₁,b₁ qəbul edək. Bu qayda ilə a₁,b₁ parçasını yarıya bölüb, eyni mühakiməni apararaq, daxilində x_n ardıcıllığının sonsuz sayda həddi olan
a₂,b₂,a₃,b₃,...,a_k ,b_k parçalarını alarıq. Prosesi belə sonsuz davam etdiririk. Aşkardır ki, a_k1,b_k1 parçası, a_k ,b_k parçasının daxilində yerləşər və k nömrəli parçanın uzunluğu b_k a_k  b^_k^a ədədinə bərabər olar. ^b₂^_k^a ədədi k₂
nın artması ilə sıfıra yaxınlaşır. Onda Kantor aksiomuna əsasən deyə bilərik ki, a_k və b_k ardıcıllıqlarının ortaq limiti var.
x_n ardıcıllığından limiti c ^olan x_nk  alt ardıcıllığını ayıraq. x_n ardıcıllığından a₁,b₁ parçasında yerləşən bir həddini x_n1 ilə işarə edək. Bu qayda ilə o biri parçalardakı hədlərini x_n2 , x_n3 ,...,x_nk ilə işarə edək.
Burada a_k x_nk b_k şərti ödənildiyindəⁿ _k^lima_k ^ _k^limb_k  c olar.
Bərabərsizlikdə limitə keçmək haqqındakı təklifə əsasən klim x_nk  c alınar.
Bizə məlumdur ki, ardıcıllığın sonlu və ya sonsuz limiti olan alt ardıcıllıqları vardır.
Tərif. Verilmiş ardıcıllığın müəyyən limiti olan alt ardıcıllıqları olduqda bu limitlərə həmin ardıcıllığın xüsusi limitləri deyilir.
Məsələn, ümumi həddi x^{n (1)n} olan ardıcıllığın
1) x1 1, x3 1,..., x2k1 1,... və 2) x2 1, x4 1,..., x2k 1
alt ardıcıllıqları vardır. Bu ardıcıllıqların uyğun olaraq, -1 və 1 ədədlərinə bərabər limitləri vardır. Bu ədədlər verilmiş ardıcıllığın xüsusi limitləridir.
Tərif. Verilmiş ardıcıllığın xüsusi limitlərinin ən böyüyünə (ən kiçiyinə) onun

ən böyük (ən kiçik) limiti deyilir və simvolik olaraq limxⁿ və ^limxn kimi işarə olunur. Ən böyük limitə yuxarı və ən kiçik limitə aşağı limit deyilir.
Aşkardır ki, məhdud ardıcıllığın həmişə xüsusi limiti var.
Göstərək ki, qeyri-məhdud ardıcıllığın heç olmazsa bir xüsusi limiti var.
Əgər xⁿ ardıcıllığı qeyri-məhdud ardıcıllıqdırsa, onda bir k təbii ədədinə uyğun elə xnk həddi tapmaq olar ki, xnk k (k1,2,3,...) münasibəti ödənilir. Bu onu göstərir ki, ^xnk ardıcıllığının limiti -a bərabərdir. Bu isə
^xn ardıcıllığının xüsusi limiti olduğundan n^lim_ ^{xn } yazmaq olar.

limx^{n } olur.
Deməli,
Əgər ixtiyari x x ədədləri X daxil olduğu üçün x x olduq da f () f () olarsa f(x) funksiyasına azalan funksiya deyilir . Əgər ixtiyari x x ədədləri X daxil olduğu üçün x x olduqda f f olarsa f() funksiyasına monoton azalan və ya artmayan funksiya deyilir^xn^ ardıcıllığının bütün hədləri üçün xn  xn1 olduqda artan, xn  xn1 olduqda azalan, xn  xn1 olduqda azalmayan, ^xn ^{ x}n1 olduqda isə artmayan ardıcıllıq deyilir.
Artan, azalan, artmayan, azalmayan ardıcıllıqlara birlikdə monoton ardıcıllıqlar deyilir.