Cvičení – elektromagnetické záření, spektra, fotony, fotoelektrický jev, Comptonův jev

Cvičení – atomismus. modely atomů, vlnové vlastnosti částic, kvantová mechanika, lasery
Otázky:

• 
  Kdo patřil v antice mezi zastánce a naopak odpůrce atomismu? Co jsou to Zenonovy pohybové aporie, v čem spočívá aporie Achilles a želva a jak si s ní vypořádává současná matematika? Jakých omylů se dopustil ve fyzice Aristoteles (4 příklady včetně stručného vysvětlení)? Jak zní základní zákony chemického atomismu (alespoň tři)? S jakým tvrzením ohledně počtu částic v objemu plynu přišel na začátku 19. století Avogadro? Co je to jeden mol a Avogadrova konstanta? Jakými způsoby je možné Avogadrovu konstantu stanovit?
  
• 
  Na čem je založen Thomsonův model atomu a co vedlo k jeho formulaci? Popište pokus, kterým Ruherford tento model vyvrátil. Jak vypadal Rutherfodův model atomu? Proč tento model nemohl z hlediska klasické fyziky fungovat? Jaký dodatečný předpoklad vůči Rutherfordově modelu učinil Bohr ve svém modelu? Jako jsou dvě základní rovnice pro Bohrův model? Co lze získat výpočtem dle Bohrova modelu? Co dokázal Bohrův model vysvětlit a kde naopak selhal? Jaký vztah platí pro spektrální čáry atomu vodíku a jak se odvodí z Bohrova modelu atomu? Jaké série spektrálních čar známe (první tři)? Co je to hrana série a jak se spočte její vlnová délka? Jak se pokusil Sommerfeld vylepšit Bobrův model atomu a v čem byl přínos jeho modelu?
  
• 
  Co říká de Broglieho hypotéza a jak se spočte de Broglieho vlnová délka částice? Jaký pokus prokázal poprvé vlnové vlastnosti částic a jak byl tento pokus realizován? Jak funguje dvojštěrbinový experiment s elektrony a jakou zvláštnost zde je možné pozorovat? Jak tuto zvláštnost současná fyzika vysvětluje?
  
• 
  Co bylo příčinou vzniku kvantové fyziky? Co je to Schroedingerova rovnice a co je jejím řešením? Jaký je význam vlnové funkce? Jak jsou v kvantové mechanice reprezentovány fyzikálních veličiny a jakých hodnot mohou nabývat? Která veličina je vždy (až na jednu výjimku kvantována) a jaká je tato výjimka? Co je to redukce vlnové funkce? Popište paradox Schroedingerova kočka. Co je to princip nerozlišitelnosti částic?
  
• 
  Co jsou to Heisenbergovy relace neurčitosti (1. a 2.). Jaké jsou jejich základní důsledky (u každé alespoň jeden příklad)? Co je principiální příčinou relací neurčitosti z matematického hlediska? Co je to princip korespondence? Jaké jsou rozdílnosti mezi klasickou a kvantovou mechanikou (alespoň pět rozdílů).
  
• 
  Co Einstein viděl jako problematické v klasické interpretaci kvantové mechaniky? Jak se jmenuje myšlenkový paradox, kterým na problémy kvantové mechaniky upozornil? Co umožnilo experimentálně rozhodnout tento paradox a s jakým výsledkem bylo experimentální ověření provedeno? Jakých úspěchů kvantová mechanika dosáhla (alespoň tři příklady)? Jaké jsou současné výzvy kvantové mechaniky (alespoň dva příklady)?
  
• 
  Jaká kvantová čísla znáte a jakých hodnot mohou nabývat? Z čeho vyplývají omezení na jednotlivá kvantová čísla? Co je to Paulův vylučovací princip? Co je to ionizační energie? Zapište elektronovou konfiguraci prvků sodík, fluor, argon, vápník, draslík, chlor, neon a odhadněte jejich vlastnosti. Kolik elektronů může být ve stavu o hlavním kvantovém čísle 3, kolik ve stavu o hlavním kvantovém čísle 5? Proč jsou vzácné plyny netečné? Který kov bude mít asi nejmenší výstupní práci?
  

Příklady:
Příklad 1: Najděte hodnotu největší vlnové délky v Paschenově sérii. Rydbergova konstanta je

ŘEŠENÍ: Předně musíme vědět, že Paschenova série odpovídá přechodu na hladinu (tj. v podstatě na 3. dráhu v Bohrově modelu atomu vodíku). Dále musíme zjistit, z které hladiny musí elektron na tuto dráhu přejít, aby byla vlnová délka co možná největší (to totiž vyžaduje zadání úlohy). To zjistíme následující úvahou: Z čím vzdálenější dráhy elektron přejde, tím bude jeho energie větší. Větší energie však odpovídá v souladu se známým vztahem větší frekvenci a tedy menší vlnové délce .

Největší vlnová délka bude tedy dosažena pro přechod z nejbližší hladiny . Určujeme tedy vlnovou délku po přechod z hladiny na hladinu :

Nejdelší vlnová délka v Paschenově sérii je
Příklad 2: Vypočítejte vlnové délky prvních tří čar () Balmerovy série vodíkového spektra. Rydbergova konstanta je
ŘEŠENÍ: Musíme si uvědomit, že Balmerova série odpovídá přechodům na hladinu První čáry (vlnové délky) této série pak získáme pro případy přechodů z hladin Pro příslušné vlnové délky poté stejně jako v předchozích úlohách dostáváme:



Vlnové délky prvních 3 čar Balmerovy série jsou
Příklad 3: Viditelný obor spektra je až Určete, které série a které jejich čáry zasahují do viditelného spektra.
ŘEŠENÍ: Každá ze sérií pokrývá určitý rozsah vlnových délek od hodnoty po hodnotu . Pro řešení této úlohy je nezbytné být schopen stanovit tyto minimální a maximální hodnoty pro jednotlivé série. Maximální vlnová délka v sérii odpovídá minimální frekvenci a tudíž minimální energii vyzářeného fotonu (to plyne ze vztahu ) Minimální energii bude mít však foton vyzářený při přechodu z vedlejší hladiny (resp. z vedlejší dráhy Bohrova modelu atomu vodíku). Největší vlnovou délku v sérii tedy určíme jako vlnovou délku pro přechod z hladiny na hladinu Pro Lymanovu sérii tedy půjde o přechod z hladiny 2 na hladinu 1, pro sérii Balmerovu z hladiny 3 na hladinu 2 apod.
Minimální vlnová délka bude naopak odpovídat přechodu z nejvzdálenější možné hladiny. Žádná nejvzdálenější hladina v pravém smyslu slova však neexistuje, protože hladin je nekonečně mnoho. Můžeme to však chápat tak, že minimální vlnová délka nastává pro přechod z hladiny, jejíž pořadové číslo roste nade všechny meze, z takzvané hrany série. Hrana série má v limitě pořadové číslo nekonečno (budeme ji tedy počítat jako limitu pro jdoucí právě k nekonečnu…).
Nyní již můžeme určovat minimální a maximální vlnově délky jednotlivých sérií: Pro Lymanovu sérii (dostáváme (výpočet vlnové délky analogicky jako v předchozích příkladech):



Je vidět, že rozpětí vlnových délek Lymanovy série je mimo viditelný obor. Zkusíme určit minimální a maximální vlnovou délku pro Balmerovu sérii:



Vidíme, že první čáry v sérii budou ležet ve viditelném oboru, hrana série však již nikoliv (hranice je , hrana série je jen 364 nm a dostává se tudíž do ultrafialové oblasti spektra). Je nutné určit, která poslední spektrální čára Balmerovy série má vlnovou délku vyšší než je 380 nm a patří tudíž ještě do viditelného spektra. Musíme tedy určit neznámou (pořadí této poslední viditelné čáry, tudíž přirozené číslo) tak, aby platilo, že: Dostáváme:



Zjistili jsme, že poslední čára, která leží ve viditelném spektru, je 9. čára Balmerovy série. 10. čára má již vlnovou délku těsně menší než je 380 nm. Ve skutečnosti samozřejmě není viditelné spektrum ohraničeno naprosto přesně hodnotou 380 nm, existuje tam určitý rozptyl ovlivněný například citlivostí oka konkrétního pozorovatele.
Musíme ještě zjistit, zda do viditelné oblasti nespadnou i některé spektrální čáry dalších sérií. Zjistíme minimální a maximální vlnovou délku pro Paschenovu sérii:




Je vidět, že Paschenova série leží celá mimo viditelnou část spektra. Další série budou mít vlnové délky ještě vyšší a budou se tudíž posouvat víc a víc do infračervené oblasti. Můžeme tedy říct, že ve viditelné části spektra leží pouze část Balmerovy série, konkrétně jejích prvních 9 spektrálních čar.
Příklad 4: Určete de Broglieho vlnovou délku elektronu jehož rychlost je Určete rovněž tuto vlnovou délku pro proton se stejnou rychlosti.
ŘEŠENÍ: Uvedené rychlosti nejsou větší než jedna třetina rychlosti světla. Proto je pro výpočet hybnosti možné použít klasický vzorec pro elektron a pro proton. Nyní již stačí dosadit do definičního vztahu pro de Broglieho vlnovou délku:

De Broglieho vlnové délky pro uvedený elektron a proton jsou po řadě
Příklad 5: Jakým napětím musí být urychlen elektron, aby jeho de Broglieho vlnová délka byla
ŘEŠENÍ: V první kroku zjistíme, zda daná vlnová délka bude pro elektron odpovídat klasickým rychlostem či rychlostem relativistickým. Zkusíme tedy ze zadané vlnové délky spočítat definičním vztahem hybnost a následně klasickým vzorcem pro hybnost i rychlost elektronu. Dostáváme:

Vidíme, že vypočítaná hodnota rychlosti je podstatně menší než třetina rychlosti světla, což znamená, že můžeme pracovat rámci klasické fyziky bez teorie relativity. Využijeme proto klasický vztah mezi kinetickou energií a hybností a následně si z definičního vztahu pro de Broglieho vlnovou délku vyjádříme kinetickou energii. Nakonec využijeme toho, že tato kinetická energie je rovna práci vykonané při urychlování elektronu, pro kterou platí Postupně získáváme:

Elektron byl urychlen napětím
Příklad 6: Najděte de Broglieho vlnovou délku elektronu s kinetickou energií
ŘEŠENÍ: Nejprve zjistíme, zda můžeme pracovat v rámci klasické fyziky, nebo zda bude třeba užít teorii relativity. To poznáme tak, že pro dané hodnoty zkusíme vypočítat rychlost užitím klasického vztahu pro kinetickou energii Uvědomíme si, jak souvisí elektronvolty s jouly a dostáváme:

Uvedená hodnota je menší, než jedna třetina z rychlosti světla, což znamená, že můžeme pracovat v rámci klasické fyziky. De Broglieho vlnová délka je definována pomocí hybnosti vztahem , a proto použijeme vztah pro vyjádření hybnosti pomocí kinetické energie udaný jako . Dosazením do vzorce pro hybnost dostáváme:

De Broglieho vlnová délka uvedeného protonu je tak cca 39 pikometrů.
Příklad 7: Kolikrát je de Broglieho vlnová délka částice menší než neurčitost v určení souřadnice, která odpovídá relativní neurčitosti hybnosti 1 %.
ŘEŠENÍ: Z informace, že relativní neurčitost hybnost je 1 %, můžeme rovnou stanovit neurčitost v hybnosti vztahem Nyní využijeme 1. Heisenbergovu relaci neurčitosti ke stanovení příslušné neurčitosti souřadnice:

Na pravé straně nerovnosti jsme si záměrně připravili de Broglieho vlnovou délku se kterou máme neurčitosti ve stanovení souřadnice porovnat. Díky tomu můžeme vidět, že neurčitost v určení polohy je v dané situaci rovna téměř osminásobku de Broglieho vlnové délky.
Příklad 8: Pomocí relací neurčitosti ukažte, že se elektrony mohou vyskytovat v atomu. Uvažujte, že kinetická energie elektronů je řádově rovna elektronvoltům a rozměr jádra je zhruba
ŘEŠENÍ: Budeme postupovat tak, že pro danou hodnotu kinetické energie (budeme pro konkrétnost uvažovat kinetickou energii což je kinetická energie elektronu na 1. Bohrově dráze v atomu vodíku) stanovíme odpovídající hybnost (využijeme k tomu klasický vztah mezi energií a hybností , což je vzhledem k typickým rychlostem elektronů v atomovém obalu např. podle Bohrova modelu atomu oprávněné) a zjistíme, jaká by byla neurčitost ve stanovení polohy pro mezní situaci, že by neurčitost v určení hybnosti byla rovna přímo velikosti hybnosti spočítané pomocí vzorce výše, tj. . To provedeme užitím 1. Heisenbergovy relace neurčitosti. Bude platit:

Okamžitě vidíme, že spočtená hodnota neurčitosti polohy je menší, než je typická velikost atomu. Z toho můžeme vydedukovat, že elektrony se v atomovém obalu (na rozdíl od jádra) vyskytovat mohou.
Příklad 9: Vypočtete neurčitost ve stanovení klidové hmotnosti kladných pionů, jejichž střední doba života je
ŘEŠENÍ: Vyjdeme ze druhé Heisenbergovy relace neurčitosti a dále si uvědomíme, že střední doba života zároveň udává maximální neurčitost ve stanovení času a že díky platnosti Einsteinova vztahu mezi klidovou hmotností a klidovou energií můžeme hledanou neurčitost v hmotnosti vyjádřit jako Dostáváme:


Cvičení 1: Které spektrální čáry vzniknou, je-li atomární vodík excitován elektrony s energií
Cvičení 2: Najděte de Broglieho vlnovou délku protonu urychleného napětí
Cvičení 3: Určete relativní šířku spektrální čáry hélia o vlnové délce víte-li, že doba života atomu hélia v excitovaném stavu je