Ekonometrika

1.2. Namunaviy misollar echish
1-misol.
Mamlakatda ettita viloyat bo’yicha ikkita ko’rsatkich qiymatlari berilgan(1.1-jadval).
1.1-jadval

Viloyatlar raqamlari	Umumiy xarajatlarda oziq –ovqat maxsulotlariini sotib olish uchun xarajatlar,%, y	Bir ishchining o’rtacha kunlik ish haqi, ming so’m, x
1	68,8	45,1
2	61,2	59,0
3	59,9	57,2
4	56,7	61,8
5	55,0	58,8
6	54,3	47,2
7	49,3	55,2

Topshiriq:

1. 
   y bilan x orasidagi bog’lanishni tavsiflash uchun quyidagi funktsiyalar parametrlarini hisoblang:
   

a) chiziqli;
b) darajali;
v) ko’rsatkichli;
g) teng tomonli giperbola.
2. Har bir modelni approsimatsiyaning o’rtacha xatoligi - va Fisher F-kriteriyasi yordamida baholang.
Echish
1.a. chiziqli regressiyaning a va b parametrlarini hisoblash uchun quyidagi normal tenglamalar sistemasini a va b larga nisbatan echamiz:

Hisoblashlarni amalga oshirish uchun quyidagi ishchi jadvalini tuzamiz(1.2-jadval):

1.2-jadval

	y	x	yx	x^2	y^2			Ai,%
1	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
Jami	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
O’rtacha qiymat	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	x	x	8,1
σ	5,74	5,86	x	x	x	x	x	x
σ^2	32,92	34,34	x	x	x	x	x	x

Jadval ma’lumotlaridan foydalanib a va b parametrlarning qiymatlarini hisoblaymiz:

,
.

Parametrlarning qiymatlarini o’rniga qo’ysak ushbu regressiya tenglamasini olamiz:

Tuzilgan regressiya tenglamasi o’rtacha kunlik ish haqini 1000 so’mga ortishi oziq-ovqat mahsulotlarini sotib olish uchun harajatlar ulushni o’rtacha 0,35 foizga kamayishiga olib kelishini ko’rsatadi.
Chiziqli juft korrelyatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:



Bog’lanish o’rta miyona, teskari.

Determinatsiya koeffitsientini aniqlaymiz.

Determinatsiya koeffitsientining bu qiymati natija - y ning variatsiyasi 12,7 foiz x omil belgining variatsiyasiga bog’liqligini ko’rsatadi.
Regressiya tenglamasiga x ning haqiqiy qiymatlarini qo’yib ning nazariy (hisoblangan) qiymatlarini topamiz.
Endi – approksimatsiyaning o’rtacha standart hatoligini hisoblaymiz.

Bu, natijaviy belgining hisoblangan qiymatlari nazariy qiymatlaridan 8,1 foizga chetlanishini ko’rsatadi.

Fisherning F-kriteriyasini hisoblaymiz:

ekanligini e’tiborga oladigan bo’lsak, olingan natijalar hosil bo’lgan bog’lanishni tasodifiy xususiyatga egaligi haqidagi H₀ gipotezani qabul qilish kerakligini va tenglama parametrlari hamda bog’lanish zichligini statistik ma’noga ega emasligini ko’rsatadi.


1 b. –darajali modelni tuzishdan avval, o’zgaruvchilarni chiziqli ko’rinishga keltiramiz. Misolimizda chiziqli holatga keltirish tenglamani ikkala qismini logarifmlash orqali amalga oshiriladi.
,
Y=C+b·X.
bu erda

Hisoblashlarni amalga oshirish uchun ishchi jadval tuzib(1.3-jadval).

b va C larni hisoblaymiz:
1.3-jadval

	Y	X	YX	Y^2	X^2				Ai
1	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
2	1,7868	1,7709	3,1642	3,1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
3	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
4	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
5	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3,1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
6	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
7	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16,4
Jami	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
O’rtacha qiymat	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	x	x	28,27	8,0
σ	0,0425	0,0484	x	x	x	x	x	x	x
σ^2	0,0018	0,0023	x	x	x	x	x	x	x

Hisoblanganlarni o’rniga qo’yib chiziqli tenglamani olamiz. Tenglamani potentsirlab quyidagi darajali modelni olamiz:


.
Hosil bo’lgan tenglamaga x ning haqiqiy qiymatlarini qo’yib, natijaning nazariy qiymatlarini olamiz.
Ular bo’yicha bog’lanish zichligi-ρ_xu korrelyatsiya indeksini va - approksimatsiyaning o’rtacha xatoligini hisoblaymiz.

Darajali modelning tavsifi bog’lanishni chiziqli funktsiyaga nisbatan ancha yaxshi ekanligini ko’rsatadi.


1v. - ko’rsatkichli egri chiziq modelini tuzishdan oldin funktsiyani ikki tomonini logarifmlab o’zgaruvchilarni chiziqli ko’rinishga keltiramiz.


bu erda
Hisoblashni amalga oshirish uchun ishchi jadval tuzamiz(1.4-jadval).
1.4-jadval

	Y	x	Yx	Y^2	x^2				Ai
1	1,8376	45,1	82,8758	3,3768	2034,01	61,7	8,1	65,61	11,8
2	1,7868	59,0	105,4212	3,1927	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
3	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
4	1,7536	61,8	108,3725	3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
5	1,7404	58,8	102,3355	3,0290	3457,44	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	-5,7	32,49	10,5
7	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
Jami	12,3234	384,3	675,9974	21,7078	21338,41	403,4	-1,8	200,78	56,3
O’rtacha qiymat	1,7605	54,90	96,5711	3,1011	3048,34	x	x	28,68	8,0
σ	0,0425	5,86	x	x	x	x	x	x	x
σ^2	0,0018	34,34	x	x	x	x	x	x	x

A va C regressiya parametrlarining qiymatlari quyidagilarga teng bo’ladi:

Bularni tenglamaga qo’ysak chiziqli tenglama hosil bo’ladi.

Hosil bo’lgan tenglamani potintsirlab uni oddiy shaklda yozamiz:

Bog’lanish zichligini –korrelyatsiya indeksi orqali baholaymiz:

Bu bog’lanish o’rtamiyona bo’lib, approksimatsiya xatoligini oshganligini ko’rsatadi. Ko’rsatkichli funktsiya o’rganilayotgan bog’lanishni darajali funktsiyadagi bog’lanishga nisbatan yomonroq tasvirlaydi.

1g. teng tomonli giperbola tenglamasini almashtirish bilan chiziqli xolatga keltiramiz. Bunda tenglama ko’rinishni oladi. Hisoblashlarni amalga oshirish uchun ishchi jadval tuzamiz(1.5-jadval).
1.5-jadval

	y	z	yz	z^2	y^2				Ai,%
1	68,8	0,0222	1,5255	0,000492	4733,44	61,3	7,0	49,00	10,2
2	61,2	0,0169	1,0373	0,000278	3745,44	56,5	4,9	24,01	8,0
3	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	3588,01	57,1	3,0	9,00	5,0
4	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
5	55,0	0,0170	0,9354	0,000289	3025,00	56,5	-1,4	1,96	2,5
6	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	2948,49	60,5	-6,5	42,25	12,0
7	49,3	0,0181	0,8931	0,000323	2430,49	57,8	-8,2	67,24	16,6
Ja-mi	405,2	0,1291	7,5064	0,002431	23685,76	405,2	0,0	194,90	56,5
O’r-tacha qiy-mat	57,89	0,0184	1,0723	0,000345	3383,68	x	x	27,84	8,1
σ	5,74	0,002145	x	x	x	x	x		x
σ^2	32,94	0,000005	x	x	x	x	x		x

Hisoblashlar natijalariga ko’ra a va b parametrlarning qiymatlari quyidagilarga teng bo’ladi:

,

Parametrlarning hosil bo’lgan qiymatlarini o’rinlariga qo’yib

Korrelyatsiya indeksini hisoblaymiz:

Approksimatsiyaning o’rtacha standart hatoligi .

Ikki tomonli giperbola tenglamasi bo’yicha bog’lanish kuchi chiziqli, darajali va ko’rsatkichli regressiyalarga nisbatan kuchliroq ya’ni,
esa me’yor darajasida.

2. 
   
   

Xulosa qilib shuni ta’kidlash mumkinki, tenglamaning parametrlari statistik ahamiyatga ega emasligi haqidagi H₀ gipotezani qabul qilinadi. Ushbu natijalar ko’rib chiqilgan bog’lanishlar zichligi nisbatan yuqori emasligi va kuztuvlar sonining kamligi bilan tasdiqlanadi.