Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari Aniqmasliklar va ularni ochish Funksiya uzluksizligi ta’riflari

Elementar funksiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir.
va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo’lsa:
1) 2) ; 3) bo’lganda) lar ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Kesmada uzluksiz funksiyaning xossalari. funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u: 1) shu kesmada chegaralangan; 2) shu kesmada eng kichik va eng katta qiymatlarga erishadi; 3) kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilsa, shu kesmaning biror nuqtasida 0 ga teng bo’ladi; 4) va orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
va funksiyalar o’z argumentlarining uzluksiz funksiyalari bo’lsa, murakkab funksiya ham uzluksiz bo’ladi. uzluksiz bo’lib, teskari funksiya mavjud bo’lsa, u ham uzluksizdir.
3. Funksiyaning uzilish va uning turlari
Ta’rif. funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan, lekin bu nuqtaning o’zida uzluksizlik shartlaridan birortasi bajarilmasa, funksiya nuqtada uzilishga ega deyiladi.
funksiya uchun , chekli limitlar mavjud bo’lsa, chap va o’ng limitlar hamda sonlar o’zaro teng bo’lmasa, nuqta 1-tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Xususan, bo’lsa bartaraf qilinadigan (yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi deyiladi.
1-tur uzilish nuqtasi bo’lmagan uzilish nuqtalariga 2-tur uzilish nuqtalari deyiladi. Bunday nuqtalarda, aqalli bitta tomonli limit qiymati cheksiz yoki mavjud bo’lmaydi.
1-misol. funksiya nuqtada 1-tur uzilishga ega ekanligini isbotlang.
Yechish. funksiya nuqtada aniqlanmagan. Absolyut qiymat ta’rifidan yoki va yoki bњlganda mos ravishda

bo’ladi.
Demak, , .
Shunday qilib, nuqta 1-tur uzilish nuqtasi bo’ladi. Bu uzilish nuqtasi bartaraf qilib (yo’qotib) bo’lmaydigan uzilish nuqtasiga kiradi.
2-misol. , funksiya nuqtada aniqlanmagan,
lekin hamma nuqtalarda aniqlangan.
Bir tomonli limitlar o’zaro teng, ya’ni .
Shunday qilib, berilgan funksiya uchun nuqta bartaraf qilinadigan (yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi bo’ladi.
3-misol. funksiyaning nuqtada uzilishga ega ekanligini ko’rsating:
Yechish. Berilgan funksiya nuqtadan boshqa hamma nuqtalarda aniqlangan. bo’lganda va bo’lganda ham .
va .
Bu 2-tur uzilishdir .