Fure qatorlari Reja: I kirish II asosiy qism

Fure qatorining ta`rifi

Biz quyida va funktsiyalar sistemasining ortogonalligini qaraymiz.
Tarif: Agar ikkita f(x) va funktsiyalar ko`paytmasining chegaralari a va b dan iborat bo`lgan integrali nolga teng bo`lsa, bu funktsiyalar (a, b) oraliqda ortogonal deyiladi.
Teorema. Quyidagi
1, cos x , cos 2x, cos 3x,…, sin x, sin 2x, sin 3x,… (1)
sistemadan olingan ixtiyoriy ikkita har xil funktsiyalar (- ) oraliqda ortogonal bo`ladi, ya`ni:
(2)
(3)
. (4)
Shuningdek, . (5)
Bunda m va n lar ixtiyoriy natural sonlar bo`lib, m ≠ n dir.
Agar (1) sistemadagi ikkita har xil funktsiyalar o`rniga bir xil funktsiyalar olinsa, u holda, birinchi funktsiyadan tashqari barcha funktsiyalarning – va oraliqda olingan integrali dan iborat bo`ladi. Birinchi funktsiyaning integrali esa 2 dir, ya`ni:
, (6)
(7)
(8)
Bunda n = 1, 2, 3,… dir.
(7) va (8) formulalar
va
almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Yuqoridagi (2)-(8) formulalar o`zunligi 2 dan iborat bo`lgan ixtiyoriy oraliqlar uchun o`rinlidir.
Agar berilgan biror funktsiyalar sistemasida har bir juft funktsiya ortogonal bo`lsa, u holda, shu sistemaning o`zi ham ortogonal sistema bo`ladi.
1-misol. (- , ) oraliqda f(x)=sin5x va (x)=cos2x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi: Berilgan funktsiyalar ko`paytmasini (- , ) oraliqda integrallaymiz:

Bunda cos x funktsiyaning juft ekanligi hisobga olindi.
2-misol. (- , ) oraliqda f (x) =sin2x va f (x) =sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:

Demak, berilgan funktsiyalar ortogonal.
3-misol. oraliqda f(x)=sin2x va (x)=sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi: