Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 7- sinfi uchun darslik

75
Ko‘phadlar
Algebrada ko‘pincha birhadlarning yig‘indisi yoki ayirma-
sidan iborat bo‘lgan algebraik ifodalar qaraladi. Masalan, 10-
a
rasmda tasvirlangan shaklning shtrixlangan qismining yuzi
+
ac b
2
1
2
ga teng, 10
-
b
rasmda tasvirlangan shaklning yuzi esa
ab
-
 c
2
ga teng. 
+
ac b
2
1
2
ifoda ushbu ikkita birhadning yig‘indisi:
ac
1
2
va 
b
2
; 
ab
-
c
2
ifoda
 ab
va 
c
2
birhadlarning ayirmasi yoki 
ab
va (
-
c
2
) birhadlarning yig‘indisi. Bu ifodalar birhadlarning
algebraik yig‘indisi bo‘ladi. Bunday ifodalar 
ko‘phadlar
deyiladi.
13-
10-rasm.
a
a
c
c
b
c
b
b
a)
b)
Bir nechta birhadning algebraik yig‘indisi ko‘phad
deyiladi.
Ko‘phadni tashkil qiluvchi birhadlar shu 
ko‘phadning
hadlari
deyiladi.
Masalan, 5
nm
2 
-
 
3
m
2
k 
-
 
7
nk
2 
+ 4
nm
ko‘phadning hadlari 5
nm
2
,
-
3
m
2
k
, 
-
7
nk
, 4
nm 
bo‘ladi.
Ikkita haddan tuzilgan ko‘phad 
ikkihad
deyiladi, uchta
haddan tuzilgan ko‘phad 
uchhad
deyiladi va hokazo.
Ikkihadga misollar: 
a
2 
-
b
2
, 5
ab 
+ 4
c
.
Uchhadga misollar: 
a
+ 2
b
-
3
c
,
-
+
bc
ab
1
2
3 .
Birhadni ham ko‘phad deb hisoblaymiz.

---

76
Agar ko‘phadning ba’zi hadlari standart shaklda yozilma-
gan bo‘lsa, u holda shu ko‘phadning barcha hadlarini standart
shaklda yozib, uni soddalashtirish mumkin.
Masala.
-
+
a b
abac
bc c
1
3
2 4
5
9
ko‘phadni soddalashtiring.
Berilgan ko‘phadning barcha hadlarini standart shaklda
yozamiz:
-
= -
=
a b = ab
abac
a bc
bc c
bc
2
2
1
3
2 4
8 ;
5
5
; 9
3
.
Demak, 
-
=
-
a b
abac+ bc c
ab
a bc
bc
2
2
1
3
2 4
5
9
8
5
+ 3
. 
247.
Ko‘phadni tashkil qiluvchi birhadlarni ayting:
1)
-
+
-
2
2
3
1;
x
x
3)
-
-
a
b
c
2
1
2
3
5
7
;
2)
-
+
2
4
3
6;
x
x
4)
-
+
-
2
3
0,5
2 .
a
x
x
248.
Ko‘phadni birhadlarning yig‘indisi shaklida yozing:
1)
-
-
+
4
3
7
9
2
11;
a
a
a
3)
-
+
-
3
2 2
3
4
1,6
4
13
;
a b
a b
ab
b
2)
-
+
-
+
5
4
2
6
3
12
5;
x
x
x
4) 
-
-
-
4
3
2
2
2,5
18
16
3
.
x
x y
x y
xy
249.
Birhadlardan ko‘phad tuzing:
1)
2
6 , 7 va 9;
x
x
4)
-
5
4
,
va ;
a
a
a
2)
-
2
2 , 11 va 3;
x
x
5)
-
2
2
3
8 , 4
, 2
va
;
a a b
ab
b
3)
-
-
4
3
,
va
;
x x
x
6)
-
-
3
2 2
3
4
, 2
, 5
.
a b
a b
ab
250.
Ko‘phadni, uning har bir hadini standart shaklga kelti-
rib, soddalashtiring:
1)
-
+
2
2
12 3
2 3
11
;
a ba
ab ab
aba
2)
-
-
2
2
2
2
4
3 8
2
;
ab ab
a aba
abab
3) 
( )
-
-
2
2
1,5
4
4
5
;
xy
xyz
mnk m nk
4)
-
+
cc c
bc
xy xy
2
2
2
1
4
4
5
.
M a s h q l a r

---

77
251.
Ifodani, uning har bir qo‘shiluvchisini standart shaklga
keltirib, soddalashtiring:
1)
-
+
aaa
ab
xxx xy
2
3
3
1
4
3 ;
2)
(
)
-
-
×
2
2
1,5
4
4
5
;
yyy
xyz
mnk m nk
3)
(
)
(
)
-
ab
a b
a b
b
2 2
2
1
1
4
9
2
3
;
4)
( )
( )
-
a
ab
b
a b
2
2
2
1
1
9
2
3
4
.
252.
Ko‘phadning son qiymatini toping:
1) 2
a
3 
+ 3
ab
+
b
2
, bunda 
a
= 0,5, 
=
b
2
3
;
2) 2
a
4 
–
ab
+ 2
b
2
, bunda 
a
=
-
1,
b
=
-
0,5;
3)
x
2 
– 2
xy
+
y
2
, bunda 
x
=
y
=
-
4,2;
4)
x
2 
+ 2
xy
+
y
2
, bunda 
x
= 1,2,
y
=
-
1,2.
253.
Ko‘phadni soddalashtiring va uning son qiymatini toping:
1) 
– aba
+
a
2
b
2
ab
2 
+ 4, bunda 
a
= 2,
=
b
1
2
;
2) 
b
2
5
ab
– 5
a
5
a
2
b
, bunda
 
=
a
1
5
,
b
=
-
2;
3) 
x
2
yxy
–
xy
2
xy
+
xy
, bunda 
x
=
-
3, 
y
= 2;
4) 
xy
2
x
2
y – xyxy
, bunda 
x
=
-
2,
y
= 3.
O‘xshash hadlarni ixchamlash
Ushbu masalani yechaylik.
1- masala.
 
Har bir sahifasida bir xil sondagi harflar bo‘lgan
ikkita kitob bor; har bir sahifadagi satrlar soni 
n
ta va har bir
satrdagi harflar soni 
m
ta. Birinchi kitob 300 sahifalik, ikkin-
chisi 500 sahifalik. Ikkala kitobda hammasi bo‘lib nechta harf bor?
1- usul
. Har bir sahifadagi harflar soni 
mn
ta. Birinchi kitobda
300 
nm
ta harf, ikkinchisida 500
nm
ta harf, ikkalasida esa
300
nm 
+ 500
nm 
= 800
nm
ta harf bor.
14-

---

78
2- usul
. Har bir sahifadagi harflar soni
mn
ga teng. Ikkala
kitobdagi sahifalar soni 300 + 500 = 800 ga, ulardagi harflar
soni 800
nm
ga teng.
Ikkala javob ham to‘g‘riligi ko‘rinib turibdi, shuning uchun
300
nm 
+ 500
nm 
= 800
nm.
Ammo hisoblashlarda ikkinchi usul ancha qulay bo‘ladi.
Masalan, agar 
n 
= 40, 
m 
= 50 bo‘lsa, u holda 
nm
= 2 000 va
300
nm 
+ 500
nm
ifodani hisoblash uchun yana uchta hisoblash-
ni bajarish kerak:
300 · 2000 + 500 · 2000 = 600 000 + 1 000 000 = 1 600 000.
800
nm
ifodani hisoblash uchun esa bor-yo‘g‘i bitta amalni
bajarish kerak, xolos: 800 · 2000 = 1 600 000.
Mana shuning uchun ham algebraik ifodalarni soddalashti-
rishni bilish muhim ahamiyatga ega.
300
nm
+500
nm
ikkihad ikkita birhadning yig‘indisidan iborat:
300
nm 
va 500
nm
.
Bu birhadlar bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilan farq qiladi.
Bunday birhadlarni 
o‘xshash birhadlar
deyiladi. Masalan, 
abc
va 3
abc
birhadlar o‘xshash, 2
pq
2
va 5
q
2
p
birhadlar ham o‘xshash, lekin 
a
2
b
va
ab
2
birhadlar o‘xshash emas.
Bir xil birhadlarni ham o‘xshash deb hisoblaymiz. Masalan, 2
a
2
b
va 2
a
2
b 
birhadlar o‘xshash.
2 - m a s a l a .
3
ab
– 2
bc
+ 4
ac
–
ab
+
 
3
bc
+
 
4
ab 
ko‘phadni
soddalashtiring.
O‘xshash birhadlarni ajratamiz: 3
ab
, 
-
ab
, 4
ab
birhadlar
o‘xshash, ularning tagiga bittadan chiziq chizamiz, 
-
2
bc
va 3
bc
o‘xshash birhadlarning tagiga ikkitadan chiziq chizamiz. 4
ac
birhadga o‘xshash had yo‘q, uning tagiga chizmaymiz, ya’ni
3
ab 
-
 
2
bc 
+ 4
ac 
-
 ab 
+ 3
bc 
+ 4
ab
.
Ko‘phad hadlarining o‘rinlarini o‘xshash hadlar yonma-yon
turadigan qilib almashtiramiz va o‘xshash hadlarni qavs ichiga
olamiz:
(3
ab 
-
ab 
+ 4
ab
) + (
-
2
bc 
+ 3
bc
) + 4
ac
.

---

79
A mmo
3
ab
-
ab
+ 4
ab
= (3
-
1 + 4)
ab
= 6
ab
,
-
2
bc
+ 3
bc
= (
-
2 + 3)
bc
=
bc
bo‘lgani uchun
3
ab
-
2
bc
+ 4
ac
-
ab
+ 3
bc
+ 4
ab
= 6
ab
+
bc
+ 4
ac
. 
Ko‘phadlarni o‘xshash birhadlar algebraik yig‘indisi
bitta birhad bilan almashtiriladigan bunday sodda-
lashtirish 
o‘xshash hadlarni ixchamlash 
deyiladi.
6
ab 
+
bc
+ 4
ac
ko‘phadda har bir had standart shaklda
yozilgan va ular orasida o‘xshash hadlar yo‘q. Ko‘p-
hadning bunday shakli 
standart shakl
deyiladi.
Har qanday ko‘phadni standart shaklda yozish mumkin.
Buning uchun avval ko‘phadning har bir hadini stan-
dart shaklda yozish va so‘ngra o‘xshash hadlarni ix-
chamlash kerak.
3- masala.
Ko‘phadni standart shaklga keltiring:
-
-
+
+
-
2
2
2
1
1
1
3
2
5
6
3
8
25
.
ab ac
aca
a
b
a
c aba a bc
-
-
+
+
-
=
2
2
2
1
1
1
3
2
5
6
3
8
25
ab ac
aca
a
b
a
c aba a bc
2
2
2
2
2
2
3
) ( 4
)
a bc a bc)
a c 5a c
a b a b
= (2
-
+ -
+
+ -
+
=
(
=
+
-
2
2
2
2
3
.
a bc
a c
a b
O‘xshash hadlarni ixchamlang