Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 7- sinfi uchun darslik

(350—352):
350.
1)
(
) (
)
;
c a b
b b a
-
+
-
3)
(
) (
)
;
x y
b y x
-
+
-
2)
(
) (
)
;
a b c
c c b
- -
-
4)
(
) (
)
2
.
b x y
y x
-
-
-
351.
1)
(
) (
)
7
3
3
;
y
a
y
- -
-
3)
(
) (
)
2
1
1
;
b a
c
a
- -
-
2)
(
)
(
)
6
2
2
;
a
a
a
-
+
-
4)
(
) (
)
2
2
2
.
a m
b
m
-
+
-
352.
1)
(
)
(
)
(
)
2
7
;
a b c
b b c
c b
- +
- -
-
2)
(
)
(
) (
)
3
;
x x y
y y x
x y
-
+
-
-
-
3)
(
)
(
) (
)
2
2
2
;
x a
y
a
a
-
+
-
+
-
4)
(
) (
) (
)
3
3
3
.
a b
b
b
b
- +
-
-
-

---

107
353.
 
Tenglamani yeching:
1)
(
) (
)
(
)
2
8
3
3
10
1 ;
x
x
x
-
-
+
=
-
-
3)
=
1
12
: 15 2
: 14,5;
x
2)
(
) (
)
(
)
+
-
-
=
-
2
2
2
1
2
3
4 7
5 ;
x
x
x
4)
=
6
7
2,1
9
2,3
.
x
354.
It tulkining orqasidan quvdi. It sekundiga 8 m, tulki esa 6
m tezlik bilan chopmoqda. Ularning orasidagi masofa
dastlab 360 m bo‘lgan, tulkining o‘z uyasiga yetib olishi
uchun esa 1 km qolgan edi. Tulki o‘z uyasiga yetib olishga
ulguradimi?
Guruhlash usuli
Guruhlash usuli hamma hadlari uchun umumiy ko‘pay-
tuvchi mavjud bo‘lmagan ko‘phadlarga qo‘llaniladi.
Ba’zan, berilgan ko‘phadning bir nechta hadlarini qavs
ichiga olib, umumiy ko‘paytuvchini aniqlash mumkin. Ko‘p-
hadni guruhlash usuli qo‘shish va ko‘paytirishning guruhlash,
o‘rin almashtirish va taqsimot qonunlariga asoslangan.
Misollar qaraymiz:
1)
(
)
(
) (
) (
) (
)
+
+ + =
+
+
+
=
+
+
1 ;
a b c
b c a b c
b c
b c
a
2)
(
)
(
) (
) (
) (
)
1 .
a b c
b c a b c
b c
b c
a
- - + =
- -
-
=
-
-
Birinchi misolda ko‘phadning oxirgi ikkita hadini „ + “
ishorasi bilan, ikkinchi misolda ko‘phadning oxirgi ikkita ha-
dini „
–
“ ishorasi bilan qavs ichiga olish yetarli bo‘ldi.
3)
(
)
(
) (
)
-
+
-
=
-
+
-
=
3
3
3
3
m x y
nx ny m x y
nx ny
(
)
(
) (
) (
)
=
-
+
-
=
-
+
3
3
3
;
m x y
n x y
x y
m n
4)
(
) (
) (
)
-
-
+
+
= -
-
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
mx
my
n x
y
mx
my
n x
y
(
) (
) (
)
(
)
= -
+
+
+
=
+
-
2
2
2
2
2
2
.
m x
y
n x
y
x
y
n m
20-

---

108
Uchinchi va to‘rtinchi misollarda ko‘phadning ikkita ha-
dini qavs ichiga olishdan tashqari hosil qilingan har bir gu-
ruhda umumiy ko‘paytuvchi qavsdan tashqariga: birinchi hol-
da „ + “ ishorasi bilan, ikkinchisida esa „
-
“ ishorasi bilan
chiqarildi.
Ba’zan ko‘phad hadlarini turli usullar bilan guruhlash
mumkin. Masalan, 2
am
+ 2
an
-
3
bm
-
3
bn
ko‘phadni ko‘pay-
tuvchilarga ikki usul bilan ajratish mumkin:
I u s u l
I I u s u l
+
-
-
=
=
+
-
+
=
=
+
-
+
=
=
+
-
2
2
3
3
(2
2 ) (3
3 )
2 (
) 3 (
)
(
)(2
3 ).
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m n
b m n
m n
a
b
+
-
-
=
=
-
+
-
=
=
-
+
-
=
=
-
+
2
2
3
3
(2
3
) (2
3 )
(2
3 )
(2
3 )
(2
3 )(
).
am
an
bm
bn
am
bm
an
bn
m a
b
n a
b
a
b m n
Oltita haddan iborat ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishga
doir misol qaraymiz:
+
-
-
+
+
=
+
-
+
+
+
=
=
+
-
+
+
+
=
+
- +
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)(
).
ax bx ay by az bz
ax bx
ay by
az bz
x a b
y a b
z a b
a b x y z
Bu yerda ko‘phadlar ikkitadan guruhlarga ajratilgan; ularni
uchtadan guruhlash ham mumkin edi:
+
-
-
+
+
=
-
+
+
-
+
=
=
- +
+
- +
=
+
- +
(
) (
)
(
)
(
) (
)(
).
ax bx ay by az bz
ax ay az
bx by bz
a x y z
b x y z
a b x y z
Ko‘phadni guruhlash usuli bilan ko‘paytuvchilarga ajratish
uchun:
1) ko‘phadning hadlarini, ular ko‘phad shaklidagi umu-
miy ko‘paytuvchiga ega bo‘ladigan qilib, guruhlarga
birlashtiriladi;
2) bu umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqa-
riladi.

---

109
Ko‘paytuvchilarga ajrating 
(355
—
360)
:
355.
1)
(
);
a b c a b
+ +
+
3)
3 (
)
;
x
a x y
y
+
+
+
2)
(
);
m n p m n
- +
-
4)
2 (
)
.
x
a x y
y
+
-
-
356.
1)
(
)
2;
(
)
x y
x y
+
+
+
3)
(
) (
)
-
+
-
2
2
;
m m n
m n
2)
(
)
2
;
a b
a b
-
+ -
4)
(
) (
)
- +
-
2
4
1
1 .
q p
p
357.
1)
(
)
2
;
m m n
m n
-
+ -
3)
2 (
)
;
m m n
n m
-
- +
2)
(
)
4
1
1;
q p
p
- + -
4)
(
)
4
1 1
.
q p
p
- + -
358.
1)
(
)
;
a x c
bc bx
- +
-
3)
(
)
3 2
8
4 ;
a b c
b
c
+
+
+
2)
(
)
;
a b c
db dc
+
+
+
4)
359.
1)
2
2 ;
ac bc
ad
bd
+
-
-
3)
2
3
6
;
bx
ay
by ax
-
-
+
2)
3
3 ;
ac
bd ad
bc
-
+
-
4)
5
3
15 .
ay
bx ax
by
-
+
-
360.
1)
-
-
+
+
-
2
2
2
;
xy
by
ax ab y
a
2)
-
-
+
+
-
2
2
2
.
ax
ay bx
cy by cx
361.
Hisoblang:
1)
139 15 18 139 15 261 18 261;
×
+
×
+
×
+
×
2)
125 48 31 82 31 43 125 83;
×
-
×
-
×
+
×
3)
14,7 13 2 14,7 13 5,3 2 5,3;
×
- ×
+
×
- ×
4)
×
+
× +
×
+
×
1
1
2
1
4
2
3
5
3
3
5
3
3
4
4,2
3
2
2,8
.
362.
Ifodaning son qiymatini toping:
1)
-
-
+
= -
=
2
5
5
7
7 , bunda
3,
4;
a
ax
a
x
x
a
2)
-
-
+
=
=
2
3
3 , bunda
0,5,
0,25;
m
mn
m
n
m
n
3)
+
-
-
=
=
2
5
5 , bunda
6,6,
0,4;
a
ab
a
b
a
b
4)
-
-
+
=
=
a
ab
a
b
a
b
2
7
20
2
2 , bunda
,
0,15.
M a s h q l a r

---

110
21-
363.
 
Hisoblang:
1)
-
×
+
×
2
287
287 48 239 713;
2)
+
×
-
×
2
73,4
73,4 17,2 90,6 63,4.
364.
 
Tenglamani yeching:
1)
(
)
4
4 0;
x x
x
-
+ - =
2)
(
)
7
4
28 0.
t t
t
+
-
-
=
Ali bilan Valining massasi birgalikda 5 ta tarvuz massasiga teng.
Valining massasi 1 ta qovun massasidan 4 marta ko‘p. Vali
bilan 2 ta qovunning birgalikdagi massasi 3 ta tarvuz massasiga
teng. Alining massasi nechta qovunning massasiga teng?
Yig‘indining kvadrati. Ayirmaning kvadrati
Ikkita son yig‘indisining kvadrati (
a
+
b
)
2 
ni qaraymiz. Ko‘p-
hadni ko‘phadga ko‘paytirish qoidasidan foydalanib, hosil
qilamiz:
(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
2
,
a b
a b
a b
a
ab ab b
a
ab b
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
ya’ni
(
)
2
2
2
2
.
a b
a
ab b
+
=
+
+
(1)
Ikki son yig‘indisining kvadrati — birinchi son kvadrati,
qo‘shuv birinchi son bilan ikkinchi son ko‘paytmasining
ikkilangani, qo‘shuv ikkinchi son kvadratiga teng.
(1) formulani 20- rasmda tasvirlangan kvadratning yuzini
ko‘zdan kechirib, osongina hosil qilish mumkinligini aytib
o‘tamiz.
Endi ikki son ayirmasining kvadratini qaraymiz:
(
) (
)(
)
-
=
-
-
=
-
-
+
=
-
+
2
2
2
2
2
2
,
a b
a b a b
a
ab ab b
a
ab b
ya’ni
(
)
2
2
2
2
.
a b
a
ab b
-
=
-
+
(2)
¹ 7

---

111
20- rasm.
a
b
a
2
ab
ab
b
2
b
a
Ikki son ayirmasining kvadrati —
birinchi son kvadrati, ayiruv birinchi
son bilan ikkinchi son ko‘paytma-
sining ikkilangani, qo‘shuv ikkinchi
son kvadratiga teng.
(1) va (2) tengliklarda 
a
va 
b
istalgan
sonlar yoki algebraik ifodalardir.
(1) va (2) formulalarni qo‘llashga
doir misollar:
1)
(
) ( )
( )
+
=
+ ×
×
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
3
2
2 2
3
3
4
12
9 ;
m
k
m
m k
k
m
mk
k
2)
(
) ( )
-
=
- ×
× +
=
-
+
2
2
2
2
2
2
4
2
5
3
5
2 5
3 3
25
30
9;
a
a
a
a
a
3)
(
)
( ) (
)
(
)
( ) (
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
3
2 3
3
6
9 .
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a b
b
a
ab
b
- -
= -
+
= -
+
=
=
+
=
+
×
+
=
+
+
Zaruriy hisoblashlarni og‘zaki bajarib, oraliq natijalarni
yozmaslik mumkin. Masalan, birdaniga bunday yozish mum-
kin:
(
)
2
2
2
4
2 2
4
5
7
25
70
49 .
a
b
a
a b
b
-
=
-
+
Yig‘indi yoki ayirmaning kvadrati formulalari 
qisqa ko‘pay-
tirish formulalari
deyiladi va ba’zi hollarda hisoblashlarni sod-
dalashtirish uchun qo‘llaniladi. Masalan:
1)
(
)
=
-
=
-
+ =
2
2
99
100 1
10 000 200 1 9801;
2)
(
)
=
+
=
+
+ =
2
2
52
50 2
2500 200 4 2704.
(1) formula (1 +
a
)
2
ifodaning qiymatlarini taqribiy hi-
soblashlarda ham qo‘llaniladi. 
a
son musbat yoki manfiy son
bo‘lib, uning moduli 1 ga nisbatan kichik bo‘lsa (masalan,
a
= 0,0032 yoki 
a
=
-
0,0021), u holda 
a
2
son yanada kichik
bo‘ladi va shu sababli
(1 +
a
)
2
= 1 + 2
à
+
à
2
tenglikni (1+
a
)
2
»
1+2
a
taqribiy tenglik bilan almashtirish
mumkin. Masalan:

---