Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 7- sinfi uchun darslik

22-

---

116
(2) formulaning geometrik talqini.
(1) formula ham 
qisqa ko‘paytirish formulasi
deyiladi.
Uni hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo‘llaniladi.
Masalan:
(
)(
)
(
)(
)
×
=
+
-
=
- =
×
=
-
+
=
-
=
- =
2
2
1) 63 57
60 3 60 3
3 600 9 3 591;
2) 98 102
100 2 100 2
100
2
10000 4 9 996.
(2) tenglik 
kvadratlar ayirmasi formulasi
deyiladi. U ko‘p-
hadlarni ko‘paytuvchilarga ajratishda qo‘llaniladi.
Masalan:
(
) (
)
( )
(
)
(
) (
)
- =
-
=
-
+
-
=
-
=
-
+
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
1)
9
3
3
3 ;
2) 4
0,64
2
0,8
2
0,8
2
0,8 ;
a
a
a
a
b
c
b
c
b
c
b
c
(
)
(
) (
)
(
) (
) (
)(
)
(
)(
)
-
- =
- -
- +
+
-
-
=
+ - +
+ + -
=
=
+
+ -
2
2
2
3)
1
1
1 ;
4)
2
.
a b
a b
a b
a b
a c
a b a c a b a c
b c
a b c
(1) formuladan foydalanib, ko‘paytirishni bajaring
(386
—
394):
386.
1)
(
)(
)
+
-
;
c d c d
3)
(
)(
)
+
-
;
a c c a
2)
(
)(
)
+
-
;
p q p q
4)
(
)(
)
-
+
;
m n m n
M a s h q l a r
S
ABCD
=
a
2
;
S
AEFG
=
b
2
;
S
GFEBCD
=
S
EBHL
;
S
GFEBCD
=
a
2
-
b
2
;
S
EBHL
= (
a
-
b
)(
a + b
).
B
a
C

b
H
a
2
F
L
M
a
-
b
b
2
E
A
G
D

---

117
387.
1)
(
)(
)
+
-
5
5 ;
x
x
3)
(
)(
)
-
+
4 4
;
a
a
2)
(
)(
)
+
-
3
3 ;
a
a
4)
(
)(
)
+
-
7
7 .
x x
388.
1)
(
)(
)
+
-
2
2
;
b a
b a
3)
(
)(
)
+
-
6
6
;
y
x
x y
2)
(
)(
)
+
-
3
3
;
c
d c
d
4)
(
)(
)
-
+
3
2
2
3
.
m
n
n
m
389.
1)
-
+
1
1
2
2
4
4
;
d
d
3)
-
+
1
1
1
1
2
3
2
3
;
y
x
y
x
2)
-
+
5
5
6
6
;
a b b
a
4)
+
-
2
3
2
3
3
4
3
4
.
m
n
m
n
390.
1)
(
)(
)
+
-
2
2
2
2
;
c
d
c
d
3)
(
)(
)
-
+
4
3
3
4
;
x
y
y
x
2)
(
)(
)
+
-
2
3
2
3
;
a
b
a
b
4)
(
)(
)
-
+
3
3
3
3
.
m
n
m
n
391.
1)
(
)(
)
+
-
2
3
2
3
3
4
3
4
;
a
b
a
b
3)
(
)(
)
+
-
3
4
4
3
0,2
0,5
0,5
0,2
;
t
p
p
t
2)
(
)(
)
-
+
4
2
2
4
2
5
5
2
;
m
n
n
m
4)
(
)(
)
-
+
2
2
2
2
1,2
0,3
1,2
0,3
.
a
b
a
b
392.
 
1)
-
+
2
3
3
2
3
1
1
3
4
2
2
4
;
a
b
b
a
3)
+
-
2
2
1
1
3
3
0,5
0,5
;
q
p
q
p
2)
-
+
4
5
4
5
2
4
2
4
3
5
3
5
;
x
y
x
y
4)
-
+
2
2
3
3
4
4
1,5
1,5
.
c
b
b
c
393.
 
1)
(
)(
)
-
+
2
2
2
2
3
4
3
4
;
x y
xy
x y
xy
3)
(
)(
)
+
-
2
3
2
3
7
7
;
ab x y
ab x y
2)
(
)(
)
+
-
2
2
2
2
5
2
5
2
;
ab
a b
ab
a b
4)
(
)(
)
-
+
3
3
4
4
.
ab
xy ab
xy
394.
1)
(
)(
)
(
)
+
-
+
2
3
3
9
;
x
x
x
3)
(
)
(
)(
)
+
+
-
2
2
4
2
2
;
x
y
x y
x y
2)
(
)
(
)(
)
+
+
-
2
1
1
1 ;
x
x
x
4)
(
)(
)
(
)
-
+
+
2
2
3
2
3
2
9
4
.
a
b
a
b
a
b
Qisqa ko‘paytirish formulalaridan foydalanib, hisoblang
(395
—
396):
395.
1)
48 52;
×
2)
68 72;
×
3)
43 37;
×
4)
47 53.
×
396.
1)
×
27 33;
2)
44 36;
×
3)
84 76;
×
4)
201 199.
×

---

118
397.
Soddalashtiring:
1)
(
) (
)(
)
-
-
+
-
2
3
3 3
;
c
c
c
2)
(
) (
)(
)
+
-
+
-
2
2
2 2
;
a
a
a
3)
(
)(
) (
)
+
-
+
+
2
2
3
2
3
2
3
;
x
y
x
y
x
y
4)
(
)(
) (
)
-
+
-
-
2
3
4
3
4
3
4
;
a
b
a
b
a
b
5)
(
)(
)
- -
+
+
+
2
2
;
b a a b
a
b
6)
(
)(
)
-
- -
+
2
2 .
b a
a b
b
398.
Ifodaning qiymatini toping:
1)
(
) (
)(
)
-
+
+
-
+
= -
2
4
3
3
3 , bunda
2,4;
m
m
m
m
m
2)
(
)
(
)(
)
+
-
-
-
+
= -
2
3
4
10
4 4
, bunda
0,1;
x
x
x
x
x
3)
(
)(
) (
) (
)(
)
-
+
-
-
-
-
+
= -
2
1
2
2
7
5
5
7 7
, bunda
;
k
k
k
k
k
k
4)
(
) (
)(
)
(
)(
)
+
+
-
+
-
+
-
= -
2
1
5
3
3 3
2
2
4 , bunda
.
a
a
a
a
a
a
399.
Tenglamani yeching:
1)
(
)
(
)(
)
+
-
-
+
=
2
2
3
4
1
1
49;
x
x
x
2)
(
) (
)(
)
+
-
-
+
=
2
3
4
3
1 1 3
49;
x
x
x
3)
+
-
-
=
3
2
2
9
18 0;
x
x
x
4)
-
-
+
=
3
2
3
4
12 0.
y
y
y
400.
Kvadratning ikki qarama-qarshi tomonining har biri
8 sm ga uzaytirildi, qolgan ikki tomoni esa shuncha qis-
qartirildi. Shaklning yuzi qanday o‘zgardi?
401.
Hisoblang: 
×
- ×
×
×
4
3
5 0,128 5 0,628 5 .
125 0,25

---

119
Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishning bir
necha usulini qo‘llash
Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishda ba’zan bir emas,
balki bir necha usullar qo‘llaniladi. Misollar keltiramiz:
1)
a
3
-
a
ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajrating:
(
)
(
) (
)
3
2
1
1
1 .
a
a a a
a a
a
- =
- =
-
+
Bu yerda ikkita usuldan foydalanilgan: umumiy ko‘paytuvchini
qavsdan tashqariga chiqarish va kvadratlar ayirmasi formula-
sini qo‘llash.
2) (
a
2 
+1)
2
-
4
a
2
ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajrating:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)(
) (
)(
)
(
) (
)
+
-
=
+
-
=
+ -
+ +
=
=
+ -
+ +
=
-
+
+
+ =
=
-
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1 2
1 2
2
1
2
1
1
1 .
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
Bu yerda qo‘shiluvchilar umumiy ko‘paytuvchiga ega emasligi
sababli, avval kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanildi,
so‘ngra yig‘indi va ayirma kvadratlarining formulalaridan foy-
dalanildi. Yana bir misol yechib ko‘raylik:
3)
(
)
(
)
(
)(
)
(
) (
)(
)
-
+
+
=
-
+
+
=
=
-
+
+
+
=
+
- +
2
2
2
2
4
4
2
4
4
2
2
2
2 2
2
2
2 .
x
y
x
y
x
y
x
y
x y
x y
x y
x y
x y
Birhadlar umumiy ko‘paytuvchiga ega bo‘lmagani va biror
formulani qo‘llash mumkin bo‘lmagani uchun, bu yerda avval
guruhlash usulidan foydalanildi, so‘ngra esa kvadratlar ayir-
masi formulasi qo‘llanildi.
Ko‘rib chiqilgan bu misollar ko‘phadni ko‘paytuv-
chilarga ajratishga doir topshiriqlarni bajarishda quyidagi
tartibga rioya qilish foydali ekanligini ko‘rsatadi:
1) umumiy ko‘paytuvchini (agar u bor bo‘lsa)
qavsdan tashqariga chiqarish;
23-

---

120
2) ko‘phadni qisqa ko‘paytirish formulalari bo‘yicha
ko‘paytuvchilarga ajratishga urinib ko‘rish;
3) agar oldingi usullar maqsadga olib kelmasa, gu-
ruhlash usulini qo‘llashga harakat qilish.
Masala.
Tenglikni isbotlang:
(
)
(
)
3
3
2
2
.
a
b
a b a
ab b
+
=
+
-
+
(1)
Tenglikning o‘ng tomonidagi qavslarni ochamiz:
(
)
(
)
2
2
3
2
2
2
2
3
3
3
.
a b a
ab b
a
a b ab
a b ab
b
a
b
+
-
+
=
-
+
+
-
+
=
+
Tenglikning o‘ng tomoni chap tomoniga tengligi kelib chiqdi,
ya’ni (1) tenglik isbot qilindi.
Xuddi shu kabi
(
)
(
)
3
3
2
2
a
b
a b a
ab b
-
=
-
+
+
(2)
tenglikning to‘g‘riligi isbotlanadi.
(1) va (2) tengliklar, mos ravishda, 
kublar yig‘indisi
va kublar ayirmasi formulalari
deb ataladi. Bu formulalar
ham ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishda qo‘llaniladi.
Masalan:
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
+
=
+
= +
-
+
-
=
-
=
-
=
-
+
+
3
3
3
2
3
4
3
3
3
3
2
2
1) 27
3
3
9 3
;
2)
8
8
2
2
2
4
.
b
b
b
b b
x
xy
x x
y
x x
y
x x
y x
xy
y
402.
Hisoblang:
1)
-
2
2
47
37 ;
2)
-
2
2
54
44 ;
3)
-
2
2
50,7
50,6 ;
4)
-
2
2
29,4
29,3 .