Gilbert fazosidagi chiziqli operatorlar

1.6-ta’rif. tenglikni qanoatlantiruvchi barcha lar to‘plami operatorning yadrosi deb ataladi va u bilan belgilanadi.
1.7-ta’rif. Biror uchun bajariladigan lar to‘plami operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deb ataladi va u yoki bilan belgilanadi.
Matematik formulalar yordamida operator yadrosi va qiymatlar sohasini quyidagicha yozish mumkin:


Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko‘pxillik bo‘ladi. Agar bo‘lib, uzluksiz operator bo‘lsa, u holda yopiq qism fazo bo‘ladi, ya’ni . operator uzluksiz bo‘lgan holda ham yopiq qism fazo bo‘lmasligi mumkin.


1.3. Operatorning chegaralanganligi.
1.8-ta’rif. Bizga gilbert fazoning to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, barcha uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, to‘plam chegaralangan deyiladi.
1.9-ta’rif. fazoni fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar ning aniqlanish sohasi bo‘lib, har qanday chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga akslantirsa, ga chegaralangan operator deyiladi.
Chiziqli operatorning chegaralanganligini tekshirish uchun quyidagi ta’rif qulaydir.
1.10-ta’rif. chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun
(1.1)
tengsizlik bajarilsa, chegaralangan operator deyiladi.
1.11-ta’rif. (1.1) tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi operatorning normasi deyiladi, va u bilan belgilanadi, ya’ni

Bu ta’rifdan ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
1.1-teorema. Gilbert fazoni gilbert fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorning normasi uchun
(1.2)
tenglik o‘rinli.
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz
.
chiziqli operator bo‘lgani uchun

Ixtiyoriy uchun

Demak, ixtiyoriy uchun Bundan esa
. (1.3)
Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy son uchun, shunday element mavjudki, ixtiyoriy bo‘lgani uchun,
(1.4)
tengsizlik bajariladi. Bu yerdan _, . (1.3) va (1.4) lardan tenglik kelib chiqadi. ∆
1.1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan operator uchun

tenglik o‘rinli.
1.1-tasdiqni mustaqil isbotlang.
Gilbert fazoni gilbert fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorlar to‘plamini bilan belgilaymiz. Xususan bo‘lsa .
1.1-natija. Ixtiyoriy va , uchun
(1.5)
tengsizlik o‘rinli.
(1.5) tengsizlikning isboti (1.2) tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi.