Gilbert fazosidagi chiziqli operatorlar

1.4.Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish.
1.12-ta’rif. va chiziqli operatorlarning yig‘indisi deb, elementga elementni mos qo‘yuvchi operatorga aytiladi.
Ravshanki, chiziqli operator bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda ham chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.6)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (1.6) tengsizlik kelib chiqadi.
1.13-ta’rif. chiziqli operatorning songa ko‘paytmasi elementga elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni .
1.14-ta’rif. va chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib bo‘lsin. va operatorlarning ko‘paytmasi deganda, har bir ga fazoning elementini mos qo‘yuvchi operator tushuniladi.
Agar va lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo‘lsa, u holda ham chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.7)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (1.7) tengsizlik kelib chiqadi.
Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. Qo‘shish amali kommutativ, lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas.
1.2-teorema. gilbert fazoni gilbert fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi tasdiqlar teng kuchli:
1) operator biror nuqtada uzluksiz;
2) operator uzluksiz;
3) operator chegaralangan.
Isbot. 1) 2). Chiziqli operatorning biror nuqtada uzluksiz ekanligidan uning ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekanligini keltirib chiqaramiz.
operator nuqtada uzluksiz bo‘lganligi uchun, ga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun . Ixtiyoriy nuqta uchun, ekanligidan kelib chiqishini ko‘rsatamiz. deymiz. U holda
.
Bu esa ekanligini bildiradi. Demak, operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz.
2) 3). operatorning uzluksiz ekanligidan uning chegaralanganligi kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Teskaridan faraz qilaylik, chiziqli operator uzluksiz bo‘lsin, lekin chegaralangan bo‘lmasin, ya’ni ixtiyoriy son uchun shunday element mavjud bo‘lib, bo‘lsin. Agar desak, ixtiyoriy uchun shunday mavjudki, tengsizlik bajariladi. Quyidagi

ketma-ketlikni qaraymiz. Ko‘rinib turibdiki, , ya’ni

Ikkinchi tomondan,
.
Bu qarama-qarshilik operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatadi.
3) 1). chiziqli chegaralangan operatorning biror nuqtada uzluksizligini ko‘rsatamiz.
Ta’rifga ko‘ra, shunday son mavjudki, ixtiyoriy uchun tengsizlik bajariladi. Faraz qilaylik, - ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsin, u holda ekanligini ko‘rsatamiz:

ya’ni . ∆
1.2-natija. chiziqli operator chegaralangan bo‘lishi uchun uning uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.