Ikkilik mantiqiy elementlardan foydalanish: bul ifodalari asosida sxemalarni sintezlash

A
¬A
1	0
0	1

4. “Va-emas” mantiqiy elementi
“Va-emas” mantiqiy elementini Sheffer shtrixi deb ham yuritiladi, u inventorlangan “va”ni amalga oshiradi. Ushbu mantiqiy amal quyidagicha belgilanadi:

Bu belgini quyidagicha yoyib ham yozish mumkin.

“Va-emas” mantiqiy elementining Bul ifodasi ko‘rinishda bo‘ladi.
Va-emas” mantiqiy elementining rostlik jadvali yordamida ishlash printsipini ko’rish mumkin:

A	B	A&B	Y=
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

5. “Yoki-emas” mantiqiy elementi
“Yoki-emas” mantiqiy elementini Pirs strelkasi deb ham yuritiladi, u inventorlangan “yoki”ni amalga oshiradi, sxematik ko’rinishi quyidagicha:

Bu belgini quyidagicha yoyib ham yozish mumkin:

“Yoki-emas” mantiqiy elementining rostlik jadvali yordamida uning ishlash printsipini ko’rish mumkin:

A	B	A\/B	Y=
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

6. 
   “Birortasi, lekin hammasi emas”
   

Ushbu mantiqiy elementning Bul ifodasi:
AB = (AB)
Uning sxematik ko’rinishi quyidagicha:

“Birortasi, lekin hammasi emas” mantiqiy elementining ishlash printsipi quyidagicha:

A	B	AB
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

6. 
   “Birortasi, lekin hammasi emasga yo’l qo’ymaydigan”
   

Mantiqiy elementning Bul ifodasi: (AB) =AB
Uning sxematik ko’rinishi quyidagicha:

“Birortasi, lekin hammasi emasga yo’l qo’ymaydigan” mantiqiy elementining ishlash printsipi quyidagicha:

A	B	AB	(AB) =AB
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Ikkitadan ortiq kirishga ega bo‘lgan mantiqiy elementlar uchun ham mos ravishda quyidagicha belgilashlar ishlatiladi.

1. 
   ta kirishga ega “va” mantiqiy elementi:
   

3 ta kirishga ega bo’lgan “yoki” mantiqiy elementining sxematik ko’rinishi quyidagicha:

A	B	C	α=α(A,B,C)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Mulohazalar va ular ustida bajariladigan mantiqiy amallar birgalikda mulohazalar algebrasi deb yuritiladi. Mulohazalar algebrasining asosiy vazifalaridan biri har qanday murakkab mulohazalarning rost yoki yolg’onligini isbotlashdan iborat. Lekin berilgan murakkab mulohazadagi sodda mulohazalar va ularni bog’lovchi mantiq amallar ortgan sari mazkur mulohazaning rostlik jadvalini tuzish qiyinlasha boradi. Bu qiyinchilikni bartaraf etish uchun mulohazalar algebrasining formulasi va o’zaro teng kuchli formulalar tushunchalarini kiritiramiz.
X,Y,Z, … lar mulohazalar algebrasining formulalaridir.Agar X va Y mulohazalar algebrasining formulalari bo’lsa, u holda ù X, XÙY, XÚY, XÞY va XÛY lar ham formula bo’ladi. Mulohazalar algebrasi yuqoridagilardan boshqa formulalarga ega emas. Ko’p hollarda ù X, XÙY, XÚY, XÞY va XÛY lar orqali aniqlangan formulalr murakkab formulalar deb yuritiladi.
Mantiqiy funksiyaning rostlik qiymati {1, 0} to’plam elеmеntlaridan iborat. Aniqlanish va o’zgarish sohalari {1, 0} to’plamdan iborat bo’lgan funksiyalarga Bul funksiyaslari dеyiladi (D. Bul – angliyalik mashhur mantiqchi va matеmatik).
Bul funksiyasi
Djordj Bul 1815 yil 2 noyabr kuni Angliyaning Linkoln shahrida ilm bilan shug’ullanuvchi Djon Bul oilasida tavallud topgan. Dastlabki ilm saboqlarini otasi Djon Buldan olgan. O’n olti yoshida Donkasterdagi hususiy maktab o’qituvchisi yordamchisi sifatida faoliyatini boshlagan Djordj Bul butun hayoti davomida turli lavozimlarda o’qituvchilik qildi. Asosiy ish joyi Kork qirolligi kolleji.Uning ilmiy maqolalarining 22 tasi «Kembridjning matematik jurnal»i va «Kembridj va dublin matematik jurnal»ida, 16 tasi «Falsafiy jurnal»i (Philosophical Magazine) chop etilgan, 6 memuarlari, bir qator izlanish natijalari boshqa jurnallarda (Transactions of the Royal Society of Edinburgh and of the Royal Irish Academy), S.-Peterburg akademiyasining «Vestnik» va Krell jurnallarida, «Jurnalda mehanika» jurnallarida chop etilgan. Umumiy olganda Bul tomonidan 50 dan ortiq ilmiy maqolalar va birnechta monografiyalar chop ettirilgan.
Djordj Bul 49 yoshida 1864 yil 8 dekabr kuni Irlandiyaning Ballintempl shahrida olamdan o’tgan.
Axborot almashish: kodlash va dekodlash jarayonlarida keng qo’llaniladigan funksiyalardan biri - Bul funksiyasi hisoblanadi.
Bul funksiyasi – argumenti hamda unga mos funksiyasi ikki elementli to’plam {0,1} ga tegishli qiymatni qabul qiluvchi funksiyadir. Bu to’plamni bir elementli darajaga tushirib bo’lmaydi, chunki funksiya tushunchasiga zid bo’ladi. Shunday qilib Bul funksiyasi funksiyalar ierarxiyasining eng birinchi qatlamini egallaydi.
1-ta'rif: {0,1} to’plam qiymatini qabul qiluvchi x o’zgaruvchi bul (mantiqiy, ikkilik) o’zgaruvchisi deyiladi. Ikkilik o’zgaruvchilar ikkilik sanoq sistemasida ma'lumotlarni uzatishda foydalaniladi.
2-ta'rif: bul o’zgaruvchisi orqali aniqlanuvchi hamda {0,1} to’plam qiymatini qabul qiluvchi funksiya Bul funksiyasi deyiladi.
Agar F funksiya x₁,x₂,...,x_n ga bog’liq bo’lsa, u holda F=F(x₁,x₂,...,x_n) bo’ladi.
A niqlanish sohasi chekli bo’lganligi uchun bul funksiyasini quyidagi jadval ko’rinishida berish qulaydir:
Bundan keyin ikkilik vektorlar leksik – grafik tartibda, ya'ni o’sish tartibida yozilgan deb hisoblaymiz.
Barcha n o’zgaruvchili Bul funksiyalar to’plami  belgilashni kiritamiz, u holda  degan tasdiq o’rinli bo’ladi.
Demak, n-o’zgaruvchilarning Bul funksiyasi x₁,x₂,...,x_n argumentlarining qiymatlarini chekli B to’plamdan qabul qilsin. Bu argumentlar o’zaro va ma'lum miqdordagi Bul amallari bilan bog’langan bo’lib, funksiyaning o’zi (argumentlar kabi) B={0,1} to’plamdan qiymatlar qabul qiladi. n-o’zgaruvchilarning Bul funktsiyasini f(x₁,x₂,...,x_n) ko’rinishida yozamiz.
Birlashtirish, ko’paytirish va inkor qilish amallarini bajarish mumkin. Buning uchun bitta va ikkita argument uchun mumkin bo’lgan funktsiyani aniqlash lozim. Ikkala Bul funksiyasining umumiy sonini aniqlash formulasi argumentlarning soniga bog’liq qolda quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
N=2²ⁿ
Bu yerda, N-Bul funksiyalar soni, n- argumentlar soni.
Bu formuladan bitta argument uchun to’rtta Bul funktsiyasi mavjudligi kelib chiqadi: y=x takrorlash funksiyasi, y=  inkor funksiyasi, y=1 birlik konstanta, y=0 nol konstantasi deyiladi.
Bul algebrasi qonunlari, konyunksiya va dizyunksiya amallari uchun:
1. Kommutativlik qonuni: х₁Λх₂=х₂Λх₁ х₁Vх₂=х₂Vх₁
2. Assotsiativlik qonuni: х₁Λ(х₂Λх₃)=х₁Λх₂Λх₃
х₁V(х₂Vх₃)=(х₁Vх₂)Vх₃=х₁Vх₂Vх₃
3. Idempotentlik (tavtologiya) qonuni: хΛх=х хVх=х
4. Aylantirish qonuni: agar х₁=х₂bo’lsa,u holda  = bo’ladi.
5. Ikki marta inkor qonuni: =х
6. Bo’sh to’plam qonuni: хΛ0=0 хV0=х
7.Universalto’plamqonuni: хΛ1=х хV1=1
8.To’ldirish qonuni: хΛ =0 хV =1
9.Taqsimot qonuni: х₁Λ(х₂Vх₃)=х₁Λх₂Vх₁Λ х₃
х₁V(х₂Λх₃)=(х₁Vх₂)Λ(х₁Vх₃)
10. Yutilish qonuni: х₁Vх₁Λх₂=х₁ х₁Λ(х₁Vх₂ )=х₁
11. Birlashish (yopilish) qonuni: (х₁Vх₂)Λ(х₁V )=х₁ х₁Λх₂Vх₁Λ =х₁