Ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumi

Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning nuqtalari, maksimum va minimum qiymatlari funksiyaning lari deb ataladi.

• Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning nuqtalari, maksimum va minimum qiymatlari funksiyaning lari deb ataladi.
• Shunday qilib, agar f(x0) maksimum (minimum) bo‘lsa, u holda f(x0) funksiyaning x0 nuqtaning kichik atrofida qabul qiladigan qiymatlarning eng kattasi (eng kichigi) bo‘ladi, ya’ni funksiya i lokal harakterga ega. Bundan funksiya i u aniqlangan sohada eng katta yoki eng kichik qiymati bo‘lishi shart emasligi kelib chiqadi.
• Shuningdek, f(x) funksiya (a,b) intervalda bir qancha maksimum va minimumlarga ega bo‘lishi, maksimum qiymati uning ba’zi bir minimum qiymatidan kichik bo‘lishi ham mumkin. Masalan grafigi 1–chizmada ko‘rsatilgan y=f(x) funksiya uchun x=a nuqtada lokal maksimum, x=b nuqtada lokal minimum mavjud bo‘lib, f(a) tengsizlik o‘rinli.

. Ekstremumning zaruriy sharti.

• . Ekstremumning zaruriy sharti.
• Funksiya hosilalari yordamida uning nuqtalarini topish osonlashadi. Avval ning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
• Teorema. Agar f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz, shu nuqtada ga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada f(x) funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.
• Isboti. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bo‘lsin. U holda x0 nuqtaning shunday (x0-; x0+) atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofdan olingan x uchun f(x0)>f(x) bo‘ladi. Agar x>x0 bo‘lsa, u holda
• <0 tengsizlik, agar x bo‘lsa, u holda >0 tengsizlik o‘rinli bo‘lishi ravshan.
• Bu tengsizliklar chap tomonidagi ifodalarning xx0 da limiti mavjud bo‘lsa, u holda =f’(x0+0)0 , =f’(x0-0)0 bo’ladi.
• Agar f’(x0-0) va f’(x0+0) lar noldan farqli bo‘lsa, ravshanki f’(x0+0) bo‘lib, f’(x0) mavjud bo‘lmaydi.
• Funksiya x0 nuqtada minimumga ega bo‘lgan hol ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Teorema isbot bo‘ldi.