Ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumi

Ekstremum mavjud bo`lishining yetarli shartlari.

 

Quyida keltriladigan ikki teorima yetarli shartlarni beradi. Ba`zi hollarda bu teorimalar ekstremum izlashning birinchi, ikkinchi qoidalari deb ham aytiladi.

1-teorema(birinchi qoida). Agar f(x) funksiya x nuqtada uzluksiz bo`lib,

1) (a,x) intervalda f(x)<0 , (x,b) intervalda esa f(x)>0 bo`lsa, u holda f(x) funksiya x nuqtada minimumga ega bo`ladi;

2) (a,x) intervalda f(x)>0 ,va (x,b) intervalda esa f(x)<0 bo`lsa, u holda f(x) funksiya x nuqtada minimumga ega bo`ladi.

Funksiyalarning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari

• Funksiyalarning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
• Ma`lumki, [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan y=f(x) funksiya shu kesmada o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Shu qiymatlarni qanday topish mumkin?
• Agar y=f(x) funksiya monoton bo`lsa (uning hosilasi o`z ishorasini saqlasa, ya`ni u yo manfiymas, yoki musbatmas bo`lsa), u holda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari [a, b] kesmaning oxirlarida -x=a va x=b nuqtalarda bo`ladi.
• Agar y=f(x) funksiya monoton bo`lmasa (ya`ni uning hosilasi ishorasini o`zgartirsa), u holda funksiya ekstremumlarga ega bo`ladi. Bu holda eng katta va eng kichik qiymatlar ekstremumlar bilan bir xil bo`lishi mumkin, ma`lumki, ekstremumlar kritik nuqtalarda bo`ladi.
• Shunday qilib, y=f(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun:
• funksiyaning kritik nuqtalarini aniqlash;
• funksiyaning kritik nuqtalaridagi va kesmaning oxirlaridagi qiymatlarini hisoblash;
• topilgan qiymatlardan eng katta va eng kichik qiymatlarni tanlash kerak, ana shu qiymatlar funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini ifodalaydi.

Ta’rif. R^2 fazоda birоr D tuplamning bir-biriga bоg’liq bo’lmagan x va y o’zgaruvchilari har bir(x,y) haqiqiy sоnlari juftligiga birоr qоidaga ko’ra E to’plamdagi bitta Z haqiqiy sоn mоs quyilgan bo’lsa, to’plamda ikki o’zgaruvchiling funksiyasi aniqlangan dеyiladi.

• Ta’rif. R^2 fazоda birоr D tuplamning bir-biriga bоg’liq bo’lmagan x va y o’zgaruvchilari har bir(x,y) haqiqiy sоnlari juftligiga birоr qоidaga ko’ra E to’plamdagi bitta Z haqiqiy sоn mоs quyilgan bo’lsa, to’plamda ikki o’zgaruvchiling funksiyasi aniqlangan dеyiladi.
• Aniqlanish sohasi.
• D to’plamga funksiyaning aniqlanish sоhasi, E to’plamga o’zgarish yoki qiymatlar sоhasi dеyiladi. Har bir juft haqiqiy sоnga birоr tayin kооrdinat sistеmasida bitta M nuqta va bitta nuqtaga bir juft haqiqiy sоn mоs kеlganligi uchun ikki argumеntli funksiyani M nuqtaning funksiyasi ham dеb qaraladi, hamda y=f(x1;x2) o’rniga y=f(M) ham dеb yozish mumkin.