Kurs: 1 qrup: 162A4 MÜƏLLİM: veliyev hesen

Müəyyən inteqralın tətbiqlər
1. Müstəvi fiqurunun sahəsinin hesablanması Tutaq ki, f(x)[a, b] parçasında kəsilməyən və mənfi olmayan (f(x)≥0) funksiyadır. Onda müəyyən inteqralın həndəsi mənasına görə əyrixətli trapesin sahəsi üçün
S=(𝑥)𝑑x
bərabərliyini yazmaq olar.
Əgər [a, b] parçasında kəsilməyən f(x) funksiyası müsbət deyilsə, onda
(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≤ 0
Olar. Bu inteqralın mütləq qiyməti yuxarıdan [a, b] parçası, aşağıdan y=f(x) əyrisi, yanlardan isə x=a və x=b düz xətləri ilə əhatə olunmuş trapesin sahəsinə bərabər olar:
S=
Əgər [a, b] parçasında kəsilməyən f(x) funksiyası işarəsini sabit saxlamırsa, onda ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 müəyyən inteqralı ox oxunda yerləşən əyrixətli trapesiyaların sahələrinin cəbri cəminə bərabər olar. Ox oxundan yuxarıda yerləşən trapesiyaların sahələri cəmə müsbət işarə ilə, aşağıda yerləşənlərinki isə mənfi işarə ilə daxil olar.
Əgər [a, b] parçasında kəsilməyən y=𝜓(𝑥), 𝑦 = 𝜑(𝑥) funksiyaları 𝜓(𝑥) ≤ 𝜑(𝑥) münasibətini ödəyərsə, onda aşkardır ki, onların əmələ gətirdiyi fiqurun sahəsi
S=|(𝑥) − 𝜑(𝑥) |𝑑x
düsturu ilə hesablanar. Verilmiş əyrixətli trapesiyanı əhatə edən y= f(x) (x≥0) əyrisi parametrik şəkildə verildikdə də onun sahəsini hesablamaq olar. Tutaq ki, y= f(x) (a≤x≤b) funksiyası
parametrik şəkildə verilmişdir. Burada 𝑥 = 𝜑(𝑡) funksiyası monotondur, [𝛼, 𝛽 ]parçasında kəsilməyən törəməsi vardır və 𝜑(𝛼) = 𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏 bərabərliklərini ödəyir. Onda (3) inteqralında 𝑥 = 𝜑(𝑡),𝑑𝑥 = 𝜑 ′ (t)dt əvəzləməsini aparsaq və y=f(x)=f([𝜑(𝑡)] = 𝜓(𝑡) olduğunu nəzərə alsaq,
S=(𝑥)𝑑𝑥 =[𝜑(𝑡)]𝜑 ′ (t)dt = (𝑡)𝜑 ′ (t)dt
Əyrixətli sektorun sahəsi
Müstəvi üzərində OA və OB radius – vektorları və AB əyrisi ilə hüdudlanmış fiqura baxaq. Belə fiqura mərkəzi koordinat başlanğıcında olan əyrixətli sektor deyilir. Polyar koordinat sistemində AB əyrisinin 𝜌 = 𝑓(𝜃)(𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽) tənliyi verildikdə OAB əyrixətli sektorunun sahəsini hesablayaq.𝐵x
Bu məqsədlə [𝛼, 𝛽 ] parçasını 𝜃0 = 𝛼 < 𝜃1 < 𝜃2 < ⋯ < 𝜃𝑛−1 < 𝜃𝑛 = 𝛽 bölgüsünü götürək və 𝜃 = 𝜃0 = 𝛼, 𝜃 = 𝜃1, 𝜃 = 𝜃2, … 𝜃 = 𝜃𝑛 = 𝛽 şüaları verilmiş sektoru n hissəyə bölək. Çəkilmiş radius-vektorlar arasındakı bucaqları uyğun olaraq ∆𝜃1∆𝜃2, … ∆𝜃𝑛 ilə işarə edək. 𝜃𝑘 𝑣ə 𝜃𝑘+1 arasında yerləşən 𝜃𝑘 bucağına uyğun radius-vektroun uzunluğunu 𝜌𝑘 ilə işarə edək. Radiusu 𝜌𝑘 və mərkəzi bucağı∆𝜃𝑘 olan dairə vektorunun sahəsi
∆𝑆𝑘 =
olduğundan
𝑆𝑛 = ∑ ∆𝜃𝑘 = cəmi pilləvari sektorun sahəsini verər.
Bu cəm 𝜌 = 𝑓(𝜃) funksiyasının (𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽) parçasında inteqral cəmidir və ona görə 𝜆 → 0 şərtində onun limiti
S=d𝑣ə 𝑦𝑎 𝑆=(5) əyrixətli sektorun sahəsini verər.
Əyri qövsünün uzunluğu
Tutaq ki, Г=(AB) müstəvi əyrisi düzbucaqlı koordinat sistemində y=f(x) (a≤x≤b) tənliyi ilə verilmişdir. [a, b] parçasının ixtiyari a=𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 bölgüsünə, əyri üzərində, koordinatları uyğun olaraq 𝑥𝑘 𝑣ə 𝑦𝑘 = 𝑓(𝑥𝑘 )(𝑘 = 0, 1, … 𝑛) 𝑜𝑙𝑎𝑛 𝐴 = 𝑀0, 𝑀1, … 𝑀𝑛−1, 𝑀𝑛 = 𝐵 nöqtələri uyğun olar. Bu nöqtələri ardıcıl olaraqdüz xətt parçaları ilə birləşdirdikdə Г əyrisi daxilinə çəkilmiş 𝑀0, 𝑀1, … 𝑀𝑛−1, 𝑀𝑛 sınıq xətti adlanır. Onda Г əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xəttin uzunluğu
olar. Sınıq xəttin ən böyük tərəfinin uzunluğu 𝜆 olsun: 𝜆 = max(∆𝑙0, ∆𝑙1, … ∆𝑙𝑛−1 ).
Tərif.
Г əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xəttin uzunluğunun 𝜆 → 0 şərtində sonlu limiti varsa həmin əyriyə sonlu uzunluqlu əyri və
𝑙 = (6) limitinə onun uzunluğu deyilir.
Cisimlərin həcminin hesablanması. Fırlanmadan alınan səthin sahəsi. Əyri qövsünün uzunluğu.