Kurs: 1 qrup: 162A4 MÜƏLLİM: veliyev hesen

AZƏRBAYCAN TEXNİKİ UNİVERSİTETİ

• FAKULTƏ:NƏQLİYYAT və Logistika

• IXTISAS:Logistika və nəqliyyat texnologiyaları mühəndisliyi

• KURS: 1

• QRUP:162A4

• MÜƏLLİM: VELIYEV HESEN

• TƏLƏBƏ:QASIMLI MEHEMMED A

• KAFEDRA:Mühəndis riyaziyyatı və süni intelekt:

• FƏNN:Riyazi analiz

Funksiyanın diferensiallanan olması və diferen¬sialı. Diferensialın təqribi hesablamalara tətbiq

• Differensial funksiyanın xətti artımını təsvir edir. Bu anlayış istiqamətdən asılı olaraq törəmə ilə sıx bağlıdır.
• Funksiyanın f differensialı df, onun x nöqtəsindəki qiyməti ilə işarə olunur.
• Differensialın sadə şəkildə izahı belədir: Verilmiş f funksiyanın dəyişmə tezliyi onun arqumentinin (x) dəyişmə tezliyindən asılıdır.
• Differennsial anlayışı XVII-XVIII əsrlərdə differensial hesablarının yaranması zamanı daxil edilmişdir. XİX əsrdən başlayaraq analiz A.L.Kauçi və Karl Vayerstrass tərəfindən sərhəd qiymətləri əsasında yenidən işlənərək riyazi cəhətdən daha düzgün qurulmuşdur. Bununla differensial anlayışı öz ilkin əhəmiyyətini itirir. Hazırda differensial dx yalnız məhdud halda tətbiq olunur.

• Tərifi

Y=f{x} funksiyası (a,b) intervalında diferensiallanandır.

• Diferensiallanan Y=f{x} funksiyasının x nöqtəsində ki, artımının baş hissəsinə yəni -dən xətti asılı olan ifadəsinə onun x nöqtəsində diferensialı deyilir
• .y=f{x} funksiyasının x nöqtəsində diferensialı dy və ya df{x} ilə işarə olunur. Df{x} = və yaxud dy=

• Funksiya üçün anlayış

• M sahəsində təyin olunmuş hamar funksiya üçün differensi df ilə işarə edilir və bu düsturla təyin olunur:
• df{x}=Xf
• Burada ifadəsi Xf funksiyasının f vektoru istiqamətində M toxunanlar dəstində törəməsini göstərir.

• Funksiyanın diferensialı

• Tutaq ki, x nöqtəsində y = f (x) funksiyasının törəməsi var,
• Yəni:
• Onda-
• yazmaq olar, burda
• demeli, funksiyanin artimi

• a x kəmiyyəti f’{x} x -ə nəzərən daha yükcək tərtibli sonsuz kiçik kəmiyyətdir, yəni f ‘(x)x y artımının baş hissəsidir. y = f (x) funksiyasının artımının baş hissəsi funksiyanın diferensialı adlanır və d f (x) və yaxud dy kimi işarə olunur.
• Tərifdən alınır ki,
• dy = f ‘(x)x .
• Əgər y = x olarsa, onda
• dy=dx
• dy=x’
• . Nəticələr:
• 1) asılı olmayan dəyişənin diferensialı bu dəyişənin artımına bərabərdir; 2) x nöqtəsində y = f (x) funksiyasının diferensialı bu 10 nöqtədə funksiyanın törəməsi ilə asılı olmayan dəyişənin diferensialı hasilinə bərabərdir:
• dy = f ‘(x)x . Onda funksiyanın törəməsi diferensialların nisbəti kimi müəyyən edilə bilər:

Qeyd: Funksiyanın diferensialı dy x və x -dən asılıdır, funksiyanın f ‘(x) törəməsi isə yalnız x -dən asılıdır. Diferensialın xassələri Tutaq ki, u = f (x) və v = g(x) x nöqtəsində diferensiallanan funksiyalardır. Törəmənin xassələrindən və diferensialın tərifindən istifadə edərək, diferensialın aşağıdakı xassələrinin olduğunu isbat etmək olar:
1.d(C) = 0 , C = const ;
2. dx = x , əgər x - asılı olmayan dəyişəndirsə;
3. d(Cu) = (Cu’)dx = Cu’dx = Cdu ;
4. d(u ± v) = (u ± v)’dx = u’dx ± v’dx = du ± dv ;
5.d(u v) = (u v)’dx = (u’v + uv’)dx = u’vdx + uv’dx = vdu + udv d(u v) = vdu + udv ;
6. d{}={}’dx=dx==}=
7. d( f (u)) = (u)u’dx = ’(u)du .
Diferensialın tərifindən və xassələrindən alınır ki, törəmələrin və ya diferensialların tapılması mahiyyətcə, diferensiallama adlanan, eyni məsələyə gətirilir.
Misal: Diferensialın köməyi ilə -ü təqribi hesablamalı.
f (x) = x funksiyasına üçün f’{x}=3
+
=8,
Onda:---
+3
olar:

• Teylor (Makloren) düsturu. Teylor düsturunun müxtəlif tətbiqləri

Bəzi hallarda verilən riyazi funksiyanın parçalanaraq müxtəlif funksiyaların cəmi şəklində göstərilməsi bir çox əməliyyatların və hesablamaların aparılmasında daha faydalı olur. Bu parçalanmanı həyata keçirməkdə ən çox tətbiq olunan riyazi düstur Teylor sırası adlanan sonsuz cəm funksiyasıdır.Bu cəm funksiyası ilk dəfə 1715-ci ildə Bruk Teylor tərəfindən irəli sürülmüşdür və onun şərəfinə adlandırılmışdır.Bu sonsuz cəm funksiyası həmçinin funksiya arqumenti ilə funksiya qiyməti arasında birbaşa əlaqənin olmadığı hallarda da funksiya qiymətinin təyin olunmasına imkan yaradır.
Bu yazımda Teylor sırasının mahiyyəti və düsturun riyazi izahının verilməsinə çalışacam.Teylor sırası aşağıdakı verilən sonsuz hissəvi cəm funksiyasıdır.Bu bərabərlik əksər kəsilməz funksiyalar üçün doğrudur.
İndi isə bu bərabərliyin doğruluğunu göstərək. Fərz edək ki, verilən funksiya aşağıdakı qüvvət sıralarının cəmi (polinomlar cəmi) şəklində göstərilə bilər.
Aydındır ki, verilən bərabərlik x=a halında c0-a bərabər olur və buna görə f(a)=c0 bərabərliyini yaza bilərik.Bu o deməkdir ki, qüvvət sırasının birinci(c0) həddi x=a nöqtəsində f(a)-nın özünə bərabərdir.
Birinci addım olaraq verilmiş funksiyanın birinci tərtib törəməsini əldə edək
Belə bir qənaətə gəlmək mümkündür ki, x=a halı üçün qüvvət sırasının ikinci həddi,yəni c1 funksiyanın birinci tərtib törəməsinə bərabərdir.
İkinci addım olaraq funksiyanın 2-ci tərtib törəməsini əldə edək.
Buradan analoji olaraq belə nəticəyə gəlmək mümkündür ki, x=a halı üçün qüvvət sırasının üçüncü həddi, yəni c2 funksiyanın ikinci tərtib törəməsinin yarısına bərabərdir.
Üçüncü addım kimi eyni əməliyyatı təkrar edərək, yəni funksiyadan üçüncü tərtib törəmə alaraq qüvvət sırasının dördüncü həddi(c3) üçün aşağıdakı bərabərliyi əldə edə bilərik.
Yuxarıdakı əməliyyatlardan asanlıqla görmək olar ki, qüvvət sırasının hədləri üçün müvafiq dərəcədən törəmənin alınması və dərəcənin faktorialına bölünməsi arasında əlaqə vardır.Diqqət etsək görə bilərik ki, ikinci hədd(c1) funksiyanın birinci tərtib törəməsinin a nöqtəsindəki qiymətinə(1!=1 olduğu üçün bölünmə olsa belə heçnə dəyişmir), üçüncü hədd(c2) funksiyanın a nöqtəsində ikinci tərtib törəməsinin 2!-a , eləcə də üçüncü hədd isə 3-cü tərtib törəmənin a nöqtəsindəki qiymətinin 3!-a bölünməsindən alınan qiymətə bərabər olur.Bu əməliyyatlar analoji olaraq davam etdirilsə belə bu qanunauyğunluq gözlənir.Bunun əsasında qüvvət sıralarının bütün hədləri üçün aşağıdakı düsturu yazmaq mümkündür.