Matematik analiz

8
kabi belgilanadi. Demak,
(3*)
Eslatma. Yuqoridagi (3*) integral qaralganda har gal sirtning qaysi tomoni olinganligi aytib boriladi.
funksiyaning sirtning bir tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali, funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilangina farq qiladi.
Yuqoridagidek, ushbu

ikkinchi tur sirt integrallari ta’riflanadi.
Umumiy holda, sirtda , va funksiyalar berilgan bo‘lib, ushbu

integrallar mavjud bo‘lsa, u holda

yig‘indi ikkinchi tur sirt integralning umumiy ko‘rinishi deyiladi va u
(4*)


9
kabi belgilanadi. Demak,



10
1.2.Ikkinchi tur sirt integralining ta’rifi
funksiya (S) sirtda berilgan bo‘lsin. Bu sirtning ma’lum bir tomoni olaylik. Sirtning P bo ‘linishinivabubo ‘lishiningharbir bo ‘lagida (k=1,2,3…,n)ixtiyoriy nuqta (k=1,2,3…,n) olaylik.Berilganfunksiyaning nuqtadagi qiymatini ning tekislikdagiproeksiyasi ningyuzigako ‘paytiribquydagiyig ‘indinituzamiz.
(2)
sirtningshunday
(3)
Bo‘linishlarniqaraymizki ,ularningmosdiametrlaridantashkiltopgan

Ketma–ketliknolgaintilsin Bunday bo’linishlarganisbatan funksiyaning integral yig ‘indilarnituzamiz.Natijada sirtning (3) bo ‘linishlargamos integralyig’indilarqiymatlaridaniboratquydagi
ketma-ketlikhosilbo’ladi.

11
ta’rif. Agar (S) sirtningharqanday (3) bo ‘linishlariketma-ketligi
olinganda ham, ungamosintegrallaryig’indilariqiymatlaridaniborat ketma –ketlik nuqtalarnitanlabolinishigabog’liqbo’lmaganholda,hammavaqtbitta songaintilsa,bu yig’indininglimitideb ataladivau
(4)
kabibelgilanadi.
Integral yig’indininglimitiniquydagicha ham ta’riflashmumkin.
ta’rif.Agar son olinganda ham ,shunday topilsaki,(S) sirtningdiametri bo‘lganharqandayPbo‘linishihamdaharbir bo‘lakdanolinganixtiyoriy lar uchun

Tengsizlikbajarilsa, soni yig‘indininglimiti deb ataladiva (4) kabibelgilanadi.
ta’rif.Agar da funksiyaning integral yig‘indisi cheklilimitgaegabo‘lsa funksiya sirtningtanlangantomonbo‘yichaintegrallanuvchifunksiya deb ataladi. Bu yig‘indiningcheklilimiti esa funksiyaning sirtining tanlangan tomoni bo’yicha ikkinchi tur sirt integrali deb ataladi va u
12

Kabi belgilanadi. Demak ,

Funksiya ikkinchi tur sirt integralining quydagicha
(5)
Belgilashidan, integral (S) sirtning qaysi tamon bo‘yicha olinganligi ko‘rinmaydi. Binobarin (5) integral to‘g‘risida gap borganda, har gal integral sirtningqaysitamonbo‘yichaolinayotganligiaytibboriladi. Ravshanki funksiyaning sirtning birtomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali, funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur integralidan faqat ishorasi bilan farqqiladi.
Yuqoridagidek

Ikkinchi tursirtintegralilarita’riflanadi .
Shunday qilib,sirtda berilgan funksiyadan uchta – tekislikdagi proeksiyalari, tekislikdagi proeksiyalar hamda tekislikdagi proeksiyalar vositasida olingan ikkinchi tur sirt integrali tushuncha larikiritiladi.
13
Umumiy holda (S) sirtda funksiyalar berilgan bo‘lib, ushbu

Integral mavjud bo‘lsa u holda

Yig‘indi ikkinchi tur sirtintegralining umumiy ko‘rinishi deb ataladi va u

Kabi belgilanadi. Demak

=
Endi fazoda biror jism berilgan bo'lsin . Bu qismni o'rab turgan yopiq sirt silliq sirt boʻlib , uni deylik. funksiya da berilgan. tekislikka parallel bo'lgan tekislik bilan ni ikki qismga ajratamiz: . Natijada uni o'rab turgan sit ham va simlarga ajraladi .
14
Ushbu
(6)

integral (agar u mavjud bo'lsa) funksiyaning yopiq sirt bo'yicha ikkinchi tur sirt integrali deb ataladi va

kabi belgilanadi. Bunda (6) munosabatdagi birinchi integral sirtning ustki tomoni, ikkinchi integral esa sirtning pastki tomoni bo'yicha olingan. Xuddi shunga o'xshash

hamda , umumiy holda

integrallar ta'riflanadi.
Uzluksiz funksiya ikkinchi tur sirt integrali. Faraz qilaylik . fazoda sirt tenglama bilan berilgan bo'lsin . Bunda funksiya chegaralangan yopiq sohada uzluksiz va xususiy hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham da uzluksiz.