Matematik analiz

4
_{I Bob}. IKKINCHI TUR SIRT INTTEGRAL
1.1.Ikkinchi tur sirt integrallari
fazoda tenglama bilan aniqlangan sirtni qaraylik. Bunda funksiya chegarasi bo’lakli-silliq chiziqdan iberat bo'lgan sahada berilgan, uziuksiz xususiy hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham uzluksiz. Odatda bụnday sirtni silliq sirt deyiladi. Silliq sirt har bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo'ladi.
Endi sit uning chegarasi bilan kesishmaydigan yopiq chiziqni olaylik. nugtasitning yopiq chiziq bilan chegaralangan qismga tegishli bo’lsin. Bu chiziqni tekisligiga proeksiyalaymiz. Natijada tekislikda ham yopiq chiziq hosil bo’ladi. Tekislikdagi yopiq chiziqning musbat va manfiy yo'nalishlari kiritilgan. sirtdagi yopiq chiziq chizig'ining musbut va manfiy yo'nalishlari ham shutarzda kiritiladi. Shuni ham aytish kerakki, yo'nalishning musbat yoki manfiyligini aniqlash xarakatlanayotgan nuqtaga qaytomondan qarashga ham bog'liq.
Sirtning nuqtadagi urinma tekislikka shu nuqtada perpendikulyar o'tkazaylik Bu perpendikulyarning musbat yo'nalishi deb shunday yo'nalish olamizki. uningomonidanqaralgandaikkala ( hamda ) yopiq chiziqning yo'nalishlari musbat bo'ladi. Uning manfiy yo'nalishi esa shunday yo'nalishki, u tomondan qaralganda ningmusbat yo'nalishiga ning manfiy yo'nalishi mos keladi. Perpendikulyarnin gmusbat yo'nalishi bo'yicha olingan birlik kesma sirtning nuqtadagi normali deyiladi.
Normalning , va o'qlarining musbat yo'nalishlari bilan tashkil qilingan burchaklarini mos ravishda. orqali belgilasak.
(1)
bo’ladi va ular normalning yo'ladiuvchi kosinuslari deyiladi.

5
Isbotlash mumkinki, silliq sirtning barcha nuqtalaridagi perpendikulyarlarning musbat yo'nalishlari (normallari) bir xil bo'ladi. Demak, manfiy yo'nalishiari ham. Shunga ko'ra, sirtning ikki tomoni haqida tushuncha kiritiladi.
Sirtning ustki tomeni deb, uning shunday tomoni olinadiki, butomondan qaralganda ikkala ( hamda ) yopiq chiziqlarning yo'nalishlari musbat bo'ladi.
Sintning ustki tomoni qaralganda bilan chegaralangan tekislikning yuzi musbat ishora bilan. Pastki tomani (ikkinchi tomoni) qaralganda manfiy ishora bilan olinadi. Ikkinchi tur sirt integrali tushunchasini bayon etishdan avval sirt tomonlari, ikki tomonli sirt tushunchalarini keltiramiz. Faraz qilaylik, fazoda biror sirt berilgan bo‘lsin. Ravshanki, bu sirtning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud bo‘lib, urinish nuqtasi sirt bo‘lib uzluksiz o‘zgara borsa, mos urinma tekislik ham (uning normali ham ) o‘z holatini uzluksiz o‘zgartira boradi .
sirtda biror nuqtani olaylik. Bu nuqta orqali o‘tkazilgan sirt normali ikki yo‘nalishga ega bo‘lib, ulardan birini tayinlaymiz. So‘ng nuqtadan chiqib, shu nuqtaga qaytadigan yopiq chiziqni (konturni) qaraymizki, u sirtga tegishli bo‘lsin va sirtning chegarasini kesmasin.
nuqtada sirt normalini malum yo‘nalish, olinganligini e’tiborga olib, o‘zgaruvchi nuqtani dan boshlab, kontur bo‘yicha xarakatlantirib yana nuqtaga qaytganda (bu xolda nuqta kontor bo‘ylab o‘zgarganda mos nuqtadagi sirt normali xam o‘zgarib boradi) ikki xol sodir bo‘ladi:

1. 
   nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi shu nuqtaga qaytib kelganda qarama-qarshisiga o‘zgaradi;
   
2. 
   nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi qaytib shu nuqtaga kelganda ham o‘zgarmaydi.