Matematik analiz

19
II Bob. IKKINCHI TUR SIRT INTTEGRALLARINI HISOBLASH
2.1.Ikkinchi tur sirt integrallarini hisoblash.
Yuqorida keltirilgan teoremadan foydalanib ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali Riman integrallariga keltirib hisoblanadi

misol . Ushbu

Integral hisoblansin Bunda ellipsoidning tekislikdan pastda joylashgan qism bo’lib, integral shu sirtning pastki tomon bo'yicha olingan
Ravshanki , hu ( S ) sitning tenglamasi quyidagicha bo'lib,

uning tekislikdagi proeksiyasi

bo’ladi
sirt ham, bu sirnida berilgan

funksiya hin teoremaning shartlarini qanoatlantiradi . U holda

20

Bo’ladi. Integral sirtning pastki tomoni bo'yicha olinganligi sababli tenglikning o'ng tomonidagi ikki karrali integral oldiga minus ishorasi qo'yildi.
Endi bu

ikki karrali integralni hisoblaymiz. Ikki karrali integralda o’zgaruvchilarni

kabi almashtirib quyidagini topamiz:



Demak.



21
2.2.Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasida bog'lanish.
Biz birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidaga bog'lanishni ifodalaydigan formulalami keltirib ko’rami.
Tekislikda sodda silliq egri chiziq ushbu

Sistema bilan aniqlangan bo'lsin, bunda s- yoy uzunligi va funksiyalar hosilalarga ega hamda bu hosilalar uzluksiz
Ravshanki, bu egri chiziq har bir nuqtada urinmaga ega bo'ladi. Agar va o'qlar bilan urinmaning yoy o'sishi tomoniga qarab yo'nalish orasidagi burchak mos ravishda va deyilsa, unda bo'ladi.
Aytaylik, bu egri chiziqda funksiya berilgan va uzluksiz bo'lsin. U holda

integral mavjud bo'ladi va formulaga ko'ra

tenglik o'rinli.
Bu tenglikning o'ng tomanidagi integralni quyidagicha

Yozish mumkin. Ushbu teoremadan ( Agar funksiya egri chiziqda uzliksiz bo’lsa, u
holda bu funksiyaning egri chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integrali mavjud va

22
Bu teorema bir tomondan uzlukusiz birinchi tur egri chiziqli integralining mavjudligini aniqlab bersa. Ikkinchi tomondan bu integralning aniq integralga (Riman integraliga) kelishini korsatadi.) foydalanib quyidagini topamiz

Natijada yuqoridagi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o'xshash, tegishli shartda

va umumiy holda

bo’ladi.
Shunga o'xshash, birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog'lanishni ifodalovchi formulalar ham mavjud.
sit va unda berilgan va funksiyalar tegishli shartlarni qanoatlantirganda ushbu

(8)
Umumiy holda


23

Aytaylik, fazodagi sirt tenglama bilan aniqlangan bo‘lib, funksiya sirtning tekisligidagi proyeksiyasi da berilgan va tegishli shartlarni qanoatlantirsin.
Agar funksiya sirtda uzluksiz bo‘lsa, u holda
(5*)
bo‘ladi.
Xuddi yuqoridagidek, tegishli shartlarda
(6*)
(7*)
bo‘ladi.
Shunday qilib, ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga keltirilib, (5*), (6*) va (7*) formulalar yordamida hisoblanadi.
Eslatma.1) Agar sirt yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.

24

2. 
   Agar sirt yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda
   

bo‘ladi.

2. 
   Agar sirt yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda
   

bo‘ladi.
Misol. Ushbu

ikkinchi tur sirt integrali hisoblansin, bunda sirt quyidagi
sferaning tashqi tomoni.
Ravshanki, qaralayotgan yarim sfera
tenglama bilan aniqlanadigan sirt ( funksiya grafigi) bo‘lib, uning tekisligidagi proyeksiyasi
doiradan iborat bo‘ladi.
Sirtning tashqi tomoni sirt normalining o‘q bilan o‘tkir burchak tashkil etilishi bilan aniqlanadi. (*) formuladan foydalanib topamiz:


25

Mazkurpunktda Grin formulasining umumlashmasi bo’lgan sirt integrali bilan egr ichiziqli integralni bog’lovchi formulani keltirib chiqaramiz.

fazoda tenglama bilan aniqlangan silliq sirt berilgan bo'lsin Bu sirtning chegarasi bo’lakli–silliqegrichiziqbo'lsin sirtning tekislikdagi proeksiyasini deylik. Unda ningproeksiyasi daniboratbo'ladi.
Farazqilaylik, sirtda funksiya berilgan bo'lib, u uzluksiz bo'lsin. Undan tashqari bufunksiya da

Xususiy hosilalarga ega va ularuzluksiz bo'lsin. Ushbu

Egri chiziqli integralni qaraylik ( uning mavjudligi ravshan) Agar chiziqning sirtda yotishi nie'tiborga olsak, u holda
26

bo'ladi .
Endi Grin formulasidan foydalanib ushbuni topamiz

Ravshanki. funksiyaning y o'zgaruvchi bo'yicha xususiy hosilasi
bo'ladi.Ushbu

munosabatlardan

bo 'lishinie'tiborgaolsak .

bo'ladi .
27
Natijadaqaralayotgan integral uchunquyidagitenglikkaegabo'lamiz:
(9)
Uzluksiz funksiya ikkinchi tur sirt integralidagi teoremadan (9) tenglikning o'ng tomonidagi ikki karrali va integralni ikkinchi tur sirt integrali orqali ifodalaymiz:

Bu tenglikning o'ng tomonidagi ikkinchi tur sirt integralini.
Formulaga asoslanib ,birinchi tur sirt integraliga keltiramiz :
(10)
va nihoyat, yana