|
Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar Reja
|
səhifə | 2/9 | tarix | 09.05.2023 | ölçüsü | 416,46 Kb. | | #109372 |
| qm 4-kurs 2-ma\'ruzaJavob.
3-masala . tenglamani yeching.
Yechilishi. Faraz qilaylik, [x]=k, {x}= . U holda k≥0, ≥0 va
,
Shundan so’ng quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
k≥0, ≥0 bo’lgani uchun bu tenglamaning chap tomoni manfiy emas.
Demak, 2k – k2 ≥ 0 va k soni butun son bo’lgani uchun u faqat 0, 1 yoki 2 qiymatlarga ega bo’lishi mumkin.
k=0 bo’lganda 0≤ <1. Bundan [ 2]=0 ni hosil qilamiz. Demak, 0≤x<1 kelib chiqadi.
k=1 bo’lganda quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
Bu sistemani beradi, bundan kelib chiqadi.
Nihoyat, k=2 bo’lganda tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa sistemaga teng kuchlidir. Uning yechimi – kelib chiqadi.
Hosil bo’lgan 0≤x<1, va oraliqlarni birlashtirib javobni yozamiz.
Javob. .
4-masala . (V Soros olimpiadasi). sistemani yeching.
Yechilishi. Faraz qilaylik, a=[x], ={x}, b=[y], β={y}, c=[z], γ={z}, bu yerda a,b,s – butun sonlar, Ushbu belgilashlardan so’ng sistema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
Tenglamalarni qo’shib quyidagini hosil qilamiz:
2(a+b+c+ +β+γ)=9,4,
ya’ni:
a+b+c+ +β+γ=4,7
Hosil bo’lgan tenglamadan birinchi, ikkinchi va uchinchi tenglamalarni ketma-ket ayirib quyidagiga ega bo’lamiz:
bundan c=0, β=0,8 , a=1, γ=0,2 , b=2, =0,7 ekanligi kelib chiqadi.
Javob. x=1,7; u=2,8; z=0,2.
5-masala . Quyidagi ketma-ketlikni ko’ramiz 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, ...
(Ketma-ketlikda bittta bir, ikkita ikki, uchta uch, to’rtta to’rt, beshta besh va xokazo). Qaysi son
a) 2002– nchi; b) n – nchi o’rinda turadi?
Yechilishi. Faraz qilaylik, xn=k - n – nchi had. Berilgan ketma-ketlikda k soni birinchi paydo bo’lguncha qadar 1+2+3+…+ k -1= son ketma-ketligi yoziladi. Oxirgi k son -nchi o’rinda turadi. Shuning uchun
.
Bundan
kelib chiqadi.
Oxirgi hosil bo’lgan tengsizlikning ung va chap kismiga ni qo’shib quyidagilarga ega bo’lamiz:
,
.
U holda
,
Bundan:
.
Natijada,
Berilgan ketma-ketlikning n-hadini hisoblash formulasini hosil qildik. Xususan, x2002=63.
Eslatma. Berilgan x sondan kichik va n natural songa bo’linadigan ta natural son mavjudligini aniqlash qiyin emas.
Bu sodda eslatma sonlar nazariyasi uchun muhim bitta formulani hosil qilish imkoniyatini beradi. Dastlab quyidagi masalani yechamiz.
1>
Dostları ilə paylaş: |
|
|