Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar Reja

1. Diofant tenglamalari
2. Сhiziqli Diofant tenglamalari
3. Nochiziqli Diofant tenglamalarni yechish usullari.
Diofant tenglamalari
Diofant tenglamalarni yechish o’quvchilardan alohida e’tibor, malaka va bilimni talab etadi. Shuning uchun ham Diofant tenglamalar Respublika va Xalqaro matematika olimpiadalari topshiriqlari qatorida alohida o’rin tutadi.
Eslatib o’tmoqchimiz [1]
(1)
ko’rinishdagi tenglama Diofant tenglamasi deyiladi, bu yerda  ifoda  o’zgaruvchilari butun bo’lganida butun qiymatlarni qabul qiladi. 
Diofant tenglamalar III asrda yashagan yunon matematigi Diofant sharafiga shunday nomlangan.
Diofant o’zining mashhur “Arifmetika” kitobida algebraik tenglamalarni yechish usullarini hamda sonlar nazariyasining asosiy usullarini bayon qilib G’arbda “algebraning otasi” degan nomga sazovor bo’ldi. Mazkur kitobda algebraik tenglamalarni butun yechimlarini topishga oid ko’pgina masalalar jamlangan.
Aytish joizki bunday tenglamalarni yechishning umumiy usuli mavjud bo’lmasada, uning yechimlarining soni chekli yoki cheksiz bo’lishini aniqlash Diofant tenglamalarini tahlil qilishda dastlabki qadam deb bilamiz. 
Matematika olimpiadalarda uchraydigan ko’p masalalar “Berilgan Diofant tenglamaning yechimlarining soni cheksiz ko’p bo’lishini isbotlang” tariqada berilishini qayd qilamiz [2-4].
Сhiziqli Diofant tenglamalari
TA’RIF:

ko’rinishdagi Diofant tenglamalar chiziqli diofant tenglamalar deyiladi. Bu yerda 
n deb faraz qilamiz .
Teorema : (1.1) tenglama butun yechimlarga ega bo’lishi uchun , b son
EKUB ( ) ga bo’linishi zarur va yetarli .
Agar (1.1) tenglama yechimga ega bo’lsa , barcha yechimlari (n-1) ta butun parametrga bog’liq bo’ladi.
Natija: o’zaro tub sonlar bo’lsin.
Agar ( ) (1.4) tenglamani qanoatlantirsa , u holda (1.4) ning barcha yechimlari quyidagicha topiladi :
, t Z (1.5)
Endi shunga o’xshash ba’zi bir diofant tenglamalarning yechilishlarini ko’rib chiqamiz .
Bizdan quyidagicha diofant tenglamalarni yechish talab etilgan bo’lsin :
1-masala . 3x+4y+5z=6
Yechish: 3x+4y 1 (mod 5) , demak , 3x+4y=1+5S , S Z
U holda bu tenglamaning hususiy yechimi x= -1+3S , y=1-S bo’ladi.
(1.5) ga ko’ra : x=-1+3S+4t , y=1-S-3t
Berilgan tenglamaga qo’ysak Z=1-S ni hosil qilamiz. Demak , umumiy yechim quyidagicha bo’ladi.
(x,y,z)=(-1+3S+4t , 1-S-3t , 1-S) , S,t Z
2-masala. 6x+10y-5z=1
Yechilishi: y 1(mod 3) , demak y=1+3S , S Z va 6x-15z = -9-30S , 2x-5z=-3-10S
z 1(mod 2) Þ z=1+2t , t Z Þ x=1-5S+5t .
demak, tenglamaning yechimi (x,y,z)=(1-5s+5t , 1+3s , 1+2t )
3- masala. 3x+4y+5z=7
Yechilashi: Bu tenglama 3x+4y 2(mod5) taqqoslamaga teng kuchli .Uni quyidagicha yozish mumkin : 3x+4y=2+5s , s Z
3x+4y=9s+6-4-4s desak , xususiy xolda x=3s+2 y=-1-s yechimga ega bo’ladi. 
Bularni yuqoridagi tenglamaga qo’yamiz ((1.5)ga)
Va x=3s+2+4t , y=-1-s-3t 
Berilgan tenglamaga qo’ysak , z=1-s kelib chiqadi . Demak , tenglamaning yechimi
(x,y,z)=(3s+2+4t , -1-s-3t , 1-s) , s,t ÎZ ko’rinishda bo’ladi.
2. Nochiziqli Diofant tenglamalarni yechish usullari.
Ko’paytuvchilarga ajratish usuli.
Bizga 
f( ) =0 (1)
ko’rinishidagi Diofant tenglama berilgan bo’lsin , bu yerda f o’zgaruvchili butun koeffitsiyentli ko’phad.
Bu tenglamani quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin. :

Bu yerda  o’zgaruvchili butun koeffitsiyentli ko’phadlar , a Z.
A butun sonni kanonik yoyilmasini olsak ,chekli sondagi ko’paytuvchilarni hosil qilish mumkin.Har bir yoyilma uchun ,
sistema yechiladi va (1) ning yechimlari topiladi. Bu usulning mohiyatini misollar yordamida tushuntiramiz.
1-misol. tenglamaning butun yechimlarini toping.
YECHISH : Tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz: 


Natijada quyidagi tenglamalarni hosil qilamiz: 
yoki (x+1)(y-1)= 2
1-hol. (x+1)(y-1)=2 bo’lganda quyidagi sistemalarni hosil qilamiz.

Bu sistemalarga mos ravishda quyidagi yechimlarga ega bo’lamiz: (1,2),(-3,0),(0,3),(-2,-1).
2-hol. (x+1)(y-1)=-2 bo’lganda quyidagi sistemalarni hosil qilamiz:

Bu sistemalarning yechimlari mos ravishda (1,0) , (-3,2) , (0,-1) , (-2,3) bo’ladi.
Bu ikki hol javoblarini birlashtirsak, yuqorida berilgan tenglamaning yechimlari ,
(1,2) , (-3,0) , (0,3) , (-2,-1) , (1,0) , (-3,2) , (0,-1) , (-2,3).
2-misol. P va q tub sonlar bo’lsa ,
tenglamaning natural yechimlarini toping.
YECHISH: Berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishga keltiramiz :
(x-pq)(y-pq)=
ning barcha ko’paytuvchilariga mos bo’lgan sistemalarni yozamiz :
; 
; 
.
Bu sistemalarni yechib quyidagi javobni yozamiz.
JAVOB: (1+pq , pq(1+pq)) ; (p(1+q) , pq(1+pq)) ; (q(1+p) , pq(1+p)) ;
(p(p+q) , q(p+q)) ; (2pq , 2pq ) ; (pq(1+q) , pq(1+q)) ; ( pq(1+p) , q(1+p)) ; 
(q(p+q) , p(q+p)) ; (pq(1+pq) , 1+pq) .
Izoh : Agar n= Diofant tenglama jami bo’lib , (1+2 )…(1+2 ) ta natural yechimga ega.
Haqiqatdan ham berilgan tenglama (x-n)(y-n)= ko’rinishga keltiriladi . 
son jami (1+2 )…(1+2 ) ta natural bo’luvchilarga ega.
3-misol. tenglamani qanoatlantiradigan barcha nomanfiy bo’lgan butun x, y sonlar topilsin.
YECHISH: Berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishlarga keltiramiz :


(xy-6-(x+y))(xy-6+x+y)=-13 . bu tenglamadan quyidagi sistemalarni hosil qilamiz :

Bu sistemalar esa quyidagi sistemalarga teng kuchli :
. Ravshanki bu sistemalar quyidagi nomanfiy yechimlarga ega : 
(3 , 4) ; (4 , 3) ; (0 , 7) ; (7 , 0) .
JAVOB: (3 , 4) ; (4 , 3) ; (0 , 7) ; (7 , 0) .
4-misol . tenglamaning butun yechimlarini toping . YECHISH: x=u+1 , y=v+1 almashtirishlarni bajargandan so’ng , berilgan tenglama , tenglamaga keladi.
U quyidagi tenglamaga ekvivalent :
uv(u+v)+4uv+(u+v)=1
Oxirgi tenglamani uv(u+v+4)+(u+v+4)=5 yoki (u+v+4)(uv+1)=5 tenglamaga keltiramiz . 5 ni 5=5*1=(-5)*(-1)=1*5=(-1)*(-5) ko’rinishlarda ifodalash mumkinligidan , quyidagi sistemalarga ega bo’lamiz : 

SHu sistemalardan faqat birinchisi va to’rtinchisi butun yechimlarga ega :
(0 , 1) ; (1 , 0) ; (-6 , 1) ; (1 , -6).
(x , y)= (u+1 , v+1) bo’lgani uchun (1 , 2) ; (-5 , 2) ; (2 , 1) ; (2 , -5) javobni hosil qilamiz. 
JAVOB: (1 , 2) ; (-5 , 2) ; (2 , 1) ; (2 , -5) .
5-masala . tenglamani natural sonlarda yeching , bu yerda p 3 bo’lgan tub son.
YECHISH: Ravshanki , berilgan tenglama (x+y+z)( )=p tenglamaga teng kuchli .
X+y+z 1 bo’lganligi uchun ,
sistemani hosil qilamiz . 
Oxirgi tenglamani quyidagicha yozamiz :

Umumiylikka zarar yetkazmagan holda , x deb olamiz.
Agar bo’lsa , x-y 1 , y-z 1 va x-z 2 bo’lib , 
bo’ladi , demak x=y=z+1 yoki x-1=y=z .
p-tub son uchun quyidagi 2 hol mavjudligiga kelish mumkin .
1-hol . p=3k+1 . Bu holda ( ) uchlik va uning mos o’rin almashtirishlarini yechimlar sifatida olish mumkin.
2-hol . p=3k+2 . Bu holda (  ) uchlik va uning mos o’rin almashtirishlari yechimlarni tashkil etadi . 
JAVOB: ( ) ; (  ) . va ularning o’rin almashtirishlari .
6-masala. tenglamaning butun yechimlarini toping.
YECHISH: Dastlab tenglamaning chap tarafini ko’paytuvchilarga ajratamiz:

Demak , ; ; ; 
Bu sistemalarni yechib , (0 , -1) ; (3 , -2) ; (3 , -1) ; (6 , -2) . yechimlarni hosil qilamiz.
JAVOB: (0 , -1) ; (3 , -2) ; (3 , -1) ; (6 , -2) . 
7-masala. Ixtiyoriy n N uchun S(n) orqali tenglamaning butun yechimlarining (x,y) juftliklar sonini belgilaymiz. S(n) = 5 bo’lsa , n ni toping.
YECHISH: n= bo’lsin , 2-misolimizning izohiga ko’ra ,
(1+2 )…(1+2 )=5 bo’ladi.
Demak , k=1 va =2 ya’ni , n= , bu yerda p-tub son.
8-masala: p va q - tub sonlar bo’lsa , tenglama nechta natural yechimga ega?
YECHISH: Berilgan tenglamani (x-p)(y-q)=pq ko’rinishda yozamiz. 
Bundan ko’rinadiki , bu tenglamaning to’rtta yechimi mavjud . 
Ular (1+p , q(1+p)) ; (2p , 2q) ; (p+q ,p+q) ; (p(1+q) , 1+q)
JAVOB: 4 ta.
IZOH: tenglamaning natural yechimlari sonini S(m,n) orqali belgilaymiz. 
(N)-N sonning natural bo’luvchilari sonini belgilasak ,
S(m,n)= (mn)= tenglik o’rinli , bu yerda (m,n)=EKUB(M,N).
Agar n= ,m= bo’lsa , bu yerda 0 , u holda S(m,n)=(1+ )… bo’ladi .Bu yerda
9- masala. tenglamani natural sonlarda yeching.
YECHISH: Berilgan tenglamaning 2 tarafini 27 ga ko’paytirib 1 ni ayiramiz. 

Ma’lumki , 
(5-masalaga qarang)
Demak , 
(3x-3y-1)( )=2*823
Ikkinchi ko’paytuvchi birinchidan kata bo’lgani uchun 3x-3y-1 2(mod3) 3x-3y-1=2 va 

Bu tengliklarni sistema qilib yechsak , (6,5) javobga ega bo’lamiz.
JAVOB; (6,5).
10-masala. X-tub son bo’lsa , x- =4 Diofant tenglamani yeching.
YECHISH: x= x=  x-tub son bo’lgani uchun , y= 1 bo’lishi shart .
Demak , bu tenglamaning javobi : (5 , 1) ; (5 , -1).
11-masala. Diofant tenglamani yeching .
YECHISH: Tenglamaning 2 tarafini 4 ga ko’paytiramiz, va uni quyidagicha yozib olamiz :
va . So’nggi tenglamani ko’paytuvchilarga ajratamiz . 
. Bu tenglik esa , quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli:
; ;
; .
Bu sistemalar (0 , 1) va (0 , -1) yechimlarga ega .
JAVOB: (0 , 1) ; (0 , -1) .
12-masala. tenglamaning nolmas butun yechimlarini toping .
YECHISH: Qavslarni hadma-had ko’pay7tirib , darajaga ko’tarib , y ga qisqartirib , ya’ni y ga bo’lib yuborganimizdan so’ng , berilgan tenglama quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi : 
Bu tenglamani y ga nisbatan kvadrat tenglama deb qarasak , uning D=x diskriminanti biror butun sonning kvadrati bo’lishi shart .
Demak , x(x-8)= , (x-z-4)(x+z-4)=16 bo’ladi . 
Bundan x kelib chiqadi . 
Berilgan tenglama (-1 , -1) ; (8 , -10) ; (9 , -10) ; (9 , -21) yechimlarga ega.
13-masala. 1 shartni qanoatlantiradigan shunday a,b,c butun sonlar topilsinki , ular uchun abc-1 son (a-1)(b-1)(c-1) songa bo’linadi. 
YECHISH: a-1=x , b-1=y , c-1=z , bo’lsa , 0

F(x,y,z) = bo’lsin . 
F funksiya har bir argument bo’yicha kamayuvchi , demak ,
f(x,y,z)
Demak , f(x,y,z)=1 yoki f(x,y,z)=2 va xy+yz+xz+x+y+z=kxyz , k
F(3,4,5)= , demak x .
F(2,3,4)= , demak x=2 uchun , k=1 
1-hol . x=1 , k=1 , 1+2(y+z) +yz=yz yechim yo’q.
2-hol . x=1 , k=2 1+2(y+z)=yz (y-2)(z-2)=5 , demak y-2=1 , z-2=5 va (3 , 7) yagona yechim.
3- hol . x=2 , k=1 , 2+3(y+z) =yz (y-3)(z-3)=11 , demak y-3=1 , z-3=11 va (4 , 15) yagona yechim.
Ikkinchi va uchinchi holdan a=2 , b=4 , c=8 , va a=3 , b=5 , c=16 yechimlarni hosil qilamiz.
JAVOB: (2 , 4 , 8) ; (3 , 5 , 16) .
14-masala. Tomonlari butun sonlardan iborat va perimetri yuza bilan teng bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchaklarni aniqlang .
YECHISH: x , y-katetlar , z – gipotenuza bo’lsin ,
u holda


/: xy
Xy-4x-4y+8=0 , (x-4)(y-4)=8 bo’ladi.
(x,y)
JAVOB: (6 , 8 , 10) ; (5 , 12 , 13) .
15-masala. 
sistemani qanoatlantiradigan butun (x,y,z,u,v) beshliklar topilsin.
YECHISH: Birinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayiramiz :
(x+y-xy)+(u+v-uv)=(x+y-xy)(u+v-uv) yoki (x+y-xy-1)(u+v-uv-1)=1 ,
(1-x)(1-y)(1-u)(1-v)=1 . Bundan 
(x,y,u,v)
JAVOB: (0,0,0,0,0) ; (0,0,-4,2,2) ; (0,2,0,0,2) ; (0,2,0,2,0) ;
(2,0,0,0,2) ; (2,0,0,2,0) ; (2,2,-4,0,0) ; (2,2,24,2,2) . 
TA’RIF: (2.1) ko’rinishdagi diofant tenglama qadimgi VAVILONDA ham ma’lum bo’lgan .
Agar ( tenglamaning yechimi bo’lsa , (k uchlik ham (2.1) ning yechimi bo’ladi.
Demak , EKUB (x,y,z) =1 shartni qanoatlantiruvchi (x,y,z) yechimlarni topish yetarli. Bunday uchliklar primitiv yechim deyiladi . Primitiv yechimdagi sonlar o’zaro tubdir.
Teorema: (2.1) tenglamaning primitive yechimi quyidagicha ko’rinishga ega:
X= y=2mn z=  (2.2)
Bu yerda m ; m,n – o’zaro tub natural sonlar.
ISBOT: x va y ning 2 lasi ham toq bo’la olmaydi , chunki
Bu esa ziddiyat. Demak x va y sonlardan aqalli bittasi juft bo’ladi.
( ayniyatdan (2.2) haqiqatdan ham (2.1) ning yechimi ekanligi ko’rsatilmoqda , bunda y- juft.
Agar EKUB (x,y,z) =d  2 bo’lsa , 2
Sonlar d ga qoldiqsiz bo’linadi. 
m va n o’zaro tub bo’lgani uchun , bundan d=1,2 ekanligi kelib chiqadi.
juft bo’lganligi uchun d=2 bo’la olmaydi .
Demak , d=1 , ya’ni (2.2) tengliklar primitiv yechimlarni hosil qiladi.
Boshqa tarafdan (x,y,z) (2.1) ning primitiv yechimi bo’lsin , bunda y=2a , x va z ikkalasi ham toq bo’lgani bois, z+x =2b z-x=2c bo’ladi , bu yerda b va c o’zaro tub sonlar , aks holda z va x o’zaro tub bo’lmaydi .
4 ya’ni b=c o’zaro tub bo’lgani uchun b=
Bundan, x=b-c=
Quyida biz ayrim primitiv pifagor uchliklarini keltiramiz: