Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar Reja

Izoh. Xuddi shunday

formulani isbotlash mumkin.
10-masala (Xermit^[1] formulasi).  - natural,  - haqiqiy sonlar uchun

tenglikni isbotlang.
Yechilishi.  sonini fiksirlab,

funksiyani qaraymiz.
U holda  .
Ixtiyoriy butun  uchun  formulani qo’llab barcha haqiqiy  qiymatlarida

tenglik bajarilishini hosil qilamiz.
Demak,  funksiya davriy funksiya bo’ladi va u  oraliqda aynan nolga teng bo’lishini tekshirish qiyin emas.
Bundan funksiya barcha haqiqiy  qiymatlarida nolga teng bo’lishi kelib chiqadi. 
11-masala . ; sonlar toq ekanligini isbotlang.
Yechilishi.  ifodada qavsni ochib  ni hosil qilamiz, bu yerda A va V – natural sonlar. Bundan
.
Bu holda 

bo’ladi.
Bundan 

kelib chiqadi.
Natijada,  - toq son, ya’ni

ekanligi kelib chiqadi.
Hosil bo’lgan tenglikning o’ng qismini baholaymiz:
.
Shuning uchun . 
Ta’rif. J : N ® R  nol bo’lmagan funksiya multiplikativ deyiladi, agar
a ,b o’zaro tub sonlar uchun J( ab)= J(a)J(b) tenglik bajarilsa.
Misollar. a) J( a)=1 " aÎN ; b) J( a)= a " aÎN , b) J( a)= a^-1 " aÎN  tengliklar bilan aniqlangan funksiyalar multiplikativ bo’ladi.
12-masala. J,J₁ ,J₂ -multiplikativ funksiyalar bo’lsin, u holda :
a) J( 1 )=1;
b) Multiplikativ funksiyalar J₁ J₂ ko’paytmasi multiplikativ funksiya bo’ladi;
c) Agar  bo’lsa,  u holda J( a )= J( ) J( )…J( ) ;
d) Agar  bo’lsa , u holda quyidagi  asosiy ayniyat bajariladi.
J(d) =
Yechilishi. a) ning isboti a  va 1 soni o’zaro tub bo’lganidan kelib chiqadi.
b) a, b o’zaro tub sonlarni fiksirlaymiz. J₁ ,J₂ –multiplikativ funksiyalar uchun quyidagi tengliklar bajariladi:
(J₁ J₂ )( ab)= J₁ (ab)J₂ (ab)= J₁ (a)J₁(b) J₂ (a)J₂(b)= (J₁ J₂ )( a) (J₁ J₂ )( b)
Demak, ikkita multiplikativ funksiya ko’paytmasi multiplikativ funksiya bo’ladi. Induksiya usuli bilan ushbu mulohaza bir nechta ko’paytuvchilar uchun isbotlanishi ravshan.
c) ning rostligi  ,  ,…, sonlarining o’zaro tubligidan kelib chiqadi.
d) Agar a natural sonining kanonik yoyilmasi  bo’lsa, u holda a ning har qanday bo’luvchisi  yoyilmaga ega bo’ladi, bunda  
0 £ b _k £ a _k , k=1,2,…,n.
c) dan quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz: 
= =   J(d).