Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar Reja

20-masala. Ixtiyoriy  uchun

formula o’rinli.
Yechilishi.
,
demak ,
. 
Izoh.   tub bo’lganida  bo’lgani uchun, qo’yidagiga ega bo’lamiz.
tub bo’lishi uchun

tenglik bajarilishi zarur va yetarli.
21-masala. Ixtiyoriy  uchun

formula o’rinli.
Yechilishi.
,
demak ,
. 
Izoh. tub bo’lganida  bo’lgani uchun, quyidagiga ega bo’lamiz.
tub bo’lishi uchun

tenglik bajarilishi zarur va yetarli.
j(x) orqali {1, 2, ..., x} to’plam ichida joylashgan va x soni bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar sonini belgilaymiz.
Adabiyotlarda j(x) funksiya Eyler^[2] funksiyasi deb yuritiladi.
p – tub son bo’lsin. Yuqorida biz quyidagi tasdiqlarni isbotladik.
a) p dan kichik va u bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlar p – 1 ta.
b) p² dan kichik va u bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlar p² – p ta.
Demak,  ,  .
Tub bo’lmagan

sonlardagi Eyler funksiyasining qiymati quyidagicha hisoblanadi:
j(x)= x×  .
Bu tenglikdan  Eyler funksiyasi multiplikativ funksiya bo’lishi hamda

formula kelib chiqadi. 
22-masala (Gauss ayniyati).    ayniyatni isbotlang.
Yechilishi.  . Multiplikativ funksiyalar uchun asosiy ayniyatga ko’ra,

.
Ayniyat isbotlandi. 
23-masala. Quyidagi tengliklarni isbotlang.
a) (m) (n) =  ((m, n)) ([m, n]);
b) (mn) ((m, n)) =  (m) (n)(m, n).
Yechilishi. a) Multiplikativlikdan foydalanib, m va n sonlar bitta tub sonning darajalari bo’lgan holni qaraymiz: m = p^α, n = p^b (  0). U holda  (m) (n) =  ((m, n)) ([m, n]) tenglik [m, n] = m = p^α, (m, n) = n = p^b tengliklardan kelib chiqadi. 
b) Multiplikativlikdan foydalanib, m va n sonlar bitta tub sonning darajalari bo’lgan holni qaraymiz: m = p^α, n = p^b (  0). Berilgan tenglik
(p^α + b)  (p^b) =  (p^α)  (p^b) p^b.
tenglikka tengkuchli. Bu tenglik esa tenglikdan kelib chiqadi. 
Diofant tenglamalari