Mavzu: Kombinatorika elementlari

O‘rinlashtirishlar, o’rin almashtirishlar, birikmalar.

Predmetlardan tashkil topgan tuzilmalar kombinatsiyalardeb ataladi.
Uch xil turdagi kombinatsiyalar o‘rganiladi: o‘rin almashtirish, o‘rinlashtirish va birikmalar.

O’rinlashtirishlar

A ^{alfavit n ta belgidan tashkil topgan bo‘lsin. Uzunligi m ga teng bo‘lgan} so‘zlar (ya’ni uzunligi m ga teng bo‘lgan ketma-ketliklar) sonini sanab chiqaylik.
Har bir so‘zni tashkil etgan belgilar orasidagi takrorlanadiganlari bor

bo‘lgan holda bunday so‘zlar sonini




n
A^m ( n ta elementdan m tadantakrorli

A

n
o‘rinlashtirishlar soni), bu belgilarning barchasi har hil bo‘lgan holda ^m
(takrorsiz o‘rinlashtirishlar soni ) deb belgilaymiz.
Bu ikki miqdor uchun formulalar quyidagicha:

n
^{Am  nm} ,
A^m  n(n 1)(n  2) (n  m  1) 
n! _.
(n  m)!

n
Bu yerda n!  1 2  3 ... n, 0!  1 (n – faktorial deb o‘qiladi)
^{Endi uzunligi} m ^{dan ko‘p bo‘lmagan so‘zlar sonini sanab chiqaylik.}
Bunda qo’shish (jamlash) qoidasiga ko‘ra so‘zlarni tashkil etgan belgilar orasidagi takrorlanadiganlari bor bo‘lgan holda bunday so‘zlar soni
n

n n n n n
_ ^{Ak  A0  A1  A2  ...  Am  1  n  n2  n3  ...  nm} ga,
k 0
bu belgilarningbarchasi har hil bo‘lgan holda

_ ^{A A  A  A  ...  A} ga teng.
n
k 0 1 2 m
n n n n n
k 0
Misol. 1)20 ta belgidan tashkil topgan alfavit berilgan bo‘lsin.
Uzunligi 3 ga teng bo‘lgan so‘zlar sonini sanab chiqaylik. Bunda belgilarning barchasi takrorlanmasin.

A

20
Yechilishi. ³  20(20 1)(20  2)  6840
2) 20 ta belgidan tashkil topgan alfavit berilgan bo‘lsin.
Uzunligi 3 ga teng bo‘lgan so‘zlar sonini sanab chiqaylik. Bunda belgilarning ayrimlari takrorlanishi mumkin.

Yechilishi.




20

A
^{3  203  8000} . ■

O’rin almashtirishlar.

n ^{ta elementli o‘rin almashtirishlar deb, bir-biridan faqat elementlarining
tartibi bilan farq qiladigan} n ^{ta elementli birikmalarga aytiladi.}

^{Masalan, 3 ta} A,
B va C
elementdan 6 ta o‘rin almashtirish bajarish

mumkin:
ABC,
BAC,
ACB,
CAB,
CBA,
BCA^.

n ^{ta elementli o‘rin almashtirishlar soni quyidagi formula yordamida}

hisoblanadi:
^{Pn  1 2  } ^{n 1} ^{ n  n!}

Misol.1)Afsuski, bugun, yomg‘ir, yog‘adi so‘zlaridan nechta gap tuzish mumkin?

Yechilishi.
P₄  1 2  3  4  24 . ■

2)w,e,d,i,g,m,a,t,h harflarining “we”,”dig”,”math” so‘zlaridan hech qaysisini o‘z ichiga olmagan barcha o‘rin almashtirishlar nechta? Masalan, d,g,i,w,e,t,h,m,a shu shartni qanoatlantirmaydi.
Yechilishi. Barcha o‘rin almashtirishlar soni 9!  362880 ga teng.
“we” so‘zini o‘z ichiga olmagan barcha o‘rin almashtirishlar to‘plamini A₁
,”dig” so‘zini o‘z ichiga olmagan barcha o‘rin almashtirishlar to‘plamini A₂

”math” so‘zini o‘z ichiga olmagan barcha o‘rin almashtirishlar to‘plamini A₃
deylik.
Kamida bitta so‘zni o‘z ichiga olmagan barcha o‘rin almashtirishlar soni

A₁
ga teng. Ravshanki,
 A₂  A₃

• 
  A₁
  

• 
  A₁
  

A₁  8! (we,d,i,g,m,a,t,h elementlarning o‘rin almashtirishlari soni), A₂  7! (w,e,dig,m,a,t,h elementlarning o‘rin almashtirishlari soni), A₃  6! (w,e,d,i,g,math elementlarning o‘rin almashtirishlari soni),

A₁ A₂
A₂ A₃
A₁ A₃ A₁
 6! (we,dig,m,a,t,h elementlarning o‘rin almashtirishlari soni),
 4! (w,e,dig,math) elementlarning o‘rin almashtirishlari soni),
 5!(we,d,i,g,math) elementlarning o‘rin almashtirishlari soni), (we,dig,math) elementlarning o‘rin almashtirishlari soni).

Demak, A₁ A₂ A₃  8! 7! 6! 6! 5! 4! 3!  45222 .
U holda, “we”,”dig”,”math” so‘zlarini o‘z ichiga olmagan barcha o‘rin
almashtirishlar soni 9! 45222  362880  45222  317658 .
Faraz qilaylik, qandaydir so‘zni tashkil qilgan belgilar orasida aynan bir xil

n₁ ta birinchi tur, bir xil
n₂ ta ikkinchi tur, va hokazo, bir xil
n_k ta
k - tur belgilar

bo‘lsin, bu yerda
n₁ ,
n₂ ,… n_k
– natural sonlar. Bu belgilarning o‘rinlarini

almashtirish natijasida hosil bo‘lgan so‘zlar takrorli o‘rin almashtirishlar
(anagrammalar) deb ataladi.

Barcha anagrammalar sonini
P(n₁, n₂ ,..., n_k )
bilan belgilasak, u uchun

P(n , n ,..., n
_{) } (n₁  n₂  ...  n_k )!

formula o‘rinlidir.

1 2 k
n₁ !n₂ !...n_k !

M isol .KOMBINATORIKA so‘zidan nechta anagramma tuzish mumkin?
Yechilishi.Bu so‘z ikkita K, ikkita O, bitta M, bitta B, ikkita I, bitta N, ikkita A, bitta T va bitta R harfidan tashkil topganligi bois, anagrammalar soni

P(2, 2,1,1, 2,1, 2,1,1) 
13!
_ 13!

ga teng.

2! 2! 2! 2! 16
Qiziqarli ma’lumot. Ayrim adabiyotlarda nafaqat so‘zlardan, balki so‘z birikmalari hamda gaplardan tashkil topgan anagrammalar qaraladi.
Anagrammalarni tuzish – tabiiy til so‘zlari hamda gaplari bilan kombinatorik mashqlarning qadimiy turi bo‘lib, unga 2000 yildan oshdi. Shunisi qiziqki ANAGRAMS so‘zining harflaridan ARS MAGNA – buyuk san’at (lot.) so‘z birikmasini tuzish mumkin.
Ma’lumki, fransuz qiroli Lyudovik o‘zining qarorgohida anagrammist lavozimini kiritib, uning yillik maoshini 1200 livr deb belgilagan.

Ayrim anagrammalar nafaqat ma’noga, balki dastlabki so‘zga (yoki so‘z birikmasiga ) qarama-qarshi ma’nodagi so‘zni (yoki so‘z birikmasini) tashkil qiladi.
Ulardan ayrimlarini keltiramiz:

1. 
   evils agents (jahannam elchilari) – evangelists (evangelistlar)
   
2. 
   real fun (katta xursandchilik) – funerals (dafn marosimi)
   
3. 
   no more stars (boshqa yulduzlar yo‘q) – astronomer (astronom)
   

Birikmalar.

Agar elementlar tartibi nazarda soqit qilinsa, shunday masala vujudga keladi: n elementli to‘plamdan nechta m elementli turli qism to‘plam ajratish mumkin? Bunday qism to‘plamlar n ta elementdan m tadan tuzilgan birikmalar deyiladi.
^{Uzunligi n ga teng bo‘lgan va tarkibida aynan m ta} a ^{harf bo‘lgan}

a...ab...b
m nm
ko‘rinishdagi so‘z bunday birikmani tashkil qiladi.

Birikmalar soni ^{Cm   n   n!} formulasi bilan hisoblanadi.

n  

m
 
m!(n  m)!

Misol. Ikkita unli va uchta undosh fonemadan iborat besh fonemali so‘zlar
soni

C ² 
5! _ 1 2  3  4  5 _{ 10}

ga teng.

⁵ 2!3! 1 2 1 2  3